Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．

（1）利用尺規(guī)作圖，在BC邊上求作一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到邊AB的距離等于PC的長(zhǎng)；（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡，并把作圖痕跡用黑色簽字筆描黑）

（2）在（1）的條件下，以點(diǎn)P為圓心，PC長(zhǎng)為半徑的⊙P中，⊙P與邊BC相交于點(diǎn)D，若AC＝6，PC＝3，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）如圖所示，見(jiàn)解析；（2）BD的長(zhǎng)為2．

【解析】

（1）根據(jù)題意可知要作∠A的平分線(xiàn)，按尺規(guī)作圖的要求作角平分線(xiàn)即可；

（2）由切線(xiàn)長(zhǎng)定理得出AC＝AE，設(shè)BD＝x，BE＝y，則BC＝6+x，BP＝3+x，通過(guò)△PEB∽△ACB可得出，從而建立一個(gè)關(guān)于x,y的方程，解方程即可得到BD的長(zhǎng)度.

（1）如圖所示：

作∠A的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)P，

點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)．

（2）作PE⊥AB于點(diǎn)E，則PE＝PC＝3，

∴AB與圓相切，

∵∠ACB＝90°，

∴AC與圓相切，

∴AC＝AE，

設(shè)BD＝x，BE＝y，

則BC＝6+x，BP＝3+x，

∵∠B＝∠B，∠PEB＝∠ACB，

∴△PEB∽△ACB

∴

∴

解得x＝2，

答：BD的長(zhǎng)為2．