Question

【題目】已知：如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在BC和CD上，AE = AF

（1）求證：BE = DF；

（2）連接AC交EF于點O，延長OC至點M，使OM = OA，連接EM、FM．判斷四邊形AEMF是什么特殊四邊形？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形AEMF是菱形，證明見解析.

【解析】

（1）求簡單的線段相等，可證線段所在的三角形全等，即證△ABE≌△ADF；

（2）由于四邊形ABCD是正方形，易得∠ECO=∠FCO=45°，BC=CD；聯立（1）的結論，可證得EC=CF，根據等腰三角形三線合一的性質可證得OC（即AM）垂直平分EF；已知OA=OM，則EF、AM互相平分，再根據一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可判定四邊形AEMF是菱形．

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠B=∠D=90°，

在Rt△ABE和Rt△ADF中，

∵，

∴Rt△ADF≌Rt△ABE（HL）

∴BE=DF；

（2）四邊形AEMF是菱形，理由為：

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BCA=∠DCA=45°（正方形的對角線平分一組對角），

BC=DC（正方形四條邊相等），

∵BE=DF（已證），

∴BC-BE=DC-DF（等式的性質），

即CE=CF，

在△COE和△COF中，

，

∴△COE≌△COF（SAS），

∴OE=OF，

又OM=OA，

∴四邊形AEMF是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形），

∵AE=AF，

∴平行四邊形AEMF是菱形．