Question

【題目】如圖，矩形紙片ABCD中，AD＝5，AB＝3．若M為射線AD上的一個動點，將△ABM沿BM折疊得到△NBM．若△NBC是直角三角形．則所有符合條件的M點所對應的AM長度的和為_____．

Answer 1

【答案】10．

【解析】

根據四邊形ABCD為矩形以及折疊的性質得到∠A=∠MNB=90°，由M為射線AD上的一個動點可知若△NBC是直角三角形，∠NBC=90°與∠NCB=90°都不符合題意，只有∠BNC=90°．然后分N在矩形ABCD內部與N在矩形ABCD外部兩種情況進行討論，利用勾股定理求得結論即可．

∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠BAD＝90°，

∵將△ABM沿BM折疊得到△NBM，

∴∠MAB＝∠MNB＝90°．

∵M為射線AD上的一個動點，△NBC是直角三角形，

∴∠NBC＝90°與∠NCB＝90°都不符合題意，

∴只有∠BNC＝90°．

①

當∠BNC＝90°，N在矩形ABCD內部，如圖1．

∵∠BNC＝∠MNB＝90°，

∴M、N、C三點共線，

∵AB＝BN＝3，BC＝5，∠BNC＝90°，

∴NC＝4．

設AM＝MN＝x，

∵MD＝5﹣x，MC＝4+x，

∴在Rt△MDC中，CD2+MD2＝MC2，

32+（5﹣x）2＝（4+x）2，

解得x＝1；

當∠BNC＝90°，N在矩形ABCD外部時，如圖2．

∵∠BNC＝∠MNB＝90°，

∴M、C、N三點共線，

∵AB＝BN＝3，BC＝5，∠BNC＝90°，

∴NC＝4，

設AM＝MN＝y，

∵MD＝y﹣5，MC＝y﹣4，

∴在Rt△MDC中，CD2+MD2＝MC2，

32+（y﹣5）2＝（y﹣4）2，

解得y＝9，

則所有符合條件的M點所對應的AM和為1+9＝10．

故答案為10．