Question

【題目】已知拋物線經過A(﹣2，0)，B(0，2)，C(，0)三點，一動點P從原點出發以1個單位/秒的速度沿x軸正方向運動，連接BP，過點A作直線BP的垂線交y軸于點Q．設點P的運動時間為t秒．

(1)求拋物線的解析式；

(2)當BQ=AP時，求t的值；

(3)隨著點P的運動，拋物線上是否存在一點M，使△MPQ為等邊三角形？若存在，請直接寫t的值及相應點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=﹣x2﹣x+2 ；(2) t=或6時，BQ=AP；(3) 當t=﹣1時，拋物線上存在點M(1，1)；當t=3+3時，拋物線上存在點M(﹣3，﹣3)．

【解析】

（1）利用代入系數法，將3點坐標代入可求得；

（2）存在2種情況，點Q在點B的下方和上方，利用BQ=AP易求得t的值；

（3）先證△AOQ≌△BOP，得到△OPQ為等腰直角三角形，得M點必在PQ的垂直平分線上，即M在y=x上，聯立點M在拋物線上的方程，解得M有2種情況，最后利用△MPQ為等邊三角形的幾何性質分析求解即可．

解：(1)設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，

∵拋物線經過A(﹣2，0)，B(0，2)，C(，0)三點，

∴，

解得，

∴y=x2x+2．

(2)∵AQ⊥PB，BO⊥AP，

∴∠AOQ=∠BOP=90°，∠PAQ=∠PBO，

∵AO=BO=2，

∴△AOQ≌△BOP，

∴OQ=OP=t．

①如圖1，當t≤2時，點Q在點B下方，此時BQ=2﹣t，AP=2+t．

∵BQ=AP，

∴2﹣t= (2+t)，

∴t=．

②如圖2，當t＞2時，點Q在點B上方，此時BQ=t﹣2，AP=2+t．

∵BQ=AP，

∴t﹣2= (2+t)，

∴t=6．

綜上所述，t=或6時，BQ=AP．

(3)當t=﹣1時，拋物線上存在點M(1，1)；當t=3+3時，拋物線上存在點M(﹣3，﹣3)．

分析如下：

∵AQ⊥BP，

∴∠QAO+∠BPO=90°，

∵∠QAO+∠AQO=90°，

∴∠AQO=∠BPO．

在△AOQ和△BOP中，

，

∴△AOQ≌△BOP，

∴OP=OQ，

∴△OPQ為等腰直角三角形，

∵△MPQ為等邊三角形，則M點必在PQ的垂直平分線上，

∵直線y=x垂直平分PQ，

∴M在y=x上，設M(x，y)，

∴，

解得或，

∴M點可能為(1，1)或(﹣3，﹣3)．

①如圖3，當M的坐標為(1，1)時，作MD⊥x軸于D，

則有PD=|1﹣t|，MP2=1+|1﹣t|2=t2﹣2t+2，PQ2=2t2，

∵△MPQ為等邊三角形，

∴MP=PQ，

∴t2+2t﹣2=0，

∴t=﹣1+，t=﹣1﹣ (負值舍去)．

②如圖4，當M的坐標為(﹣3，﹣3)時，作ME⊥x軸于E，

則有PE=3+t，ME=3，

∴MP2=32+(3+t)2=t2+6t+18，PQ2=2t2，

∵△MPQ為等邊三角形，

∴MP=PQ，

∴t2﹣6t﹣18=0，

∴t=3+3，t=3﹣3 (負值舍去)．

綜上所述，當t=﹣1+時，拋物線上存在點M(1，1)，或當t=3+3時，拋物線上存在點M(﹣3，﹣3)，使得△MPQ為等邊三角形．