Question

【題目】已知如圖，拋物線交軸于兩點(點在點的左側)，交軸于點.已知．

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知直線，若直線與拋物線有且只有一個交點求的面積；

（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點使若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，．

【解析】

（1）先求出點的坐標，進而求出點，坐標，最后用待定系數法即可得出結論；

（2）聯立直線與拋物線的解析式得出一元二次方程，判別式為0，求出點坐標，即可得出結論；

（3）Ⅰ、當點在軸上方時，先構造出，進而求出點的坐標，再聯立直線與拋物線的解析式，解方程組即可得出點坐標，

Ⅱ、當點在軸下方時，判斷出點和點關于軸對稱，進而聯立直線與拋物線的解析式，解方程組即可得出結論．

解：（1）對于拋物線，

令，則，

，

，

，

，，

，，

點，在拋物線上，

，

，

拋物線的解析式為；

（2）由（1）知，拋物線的解析式為①，

直線②與拋物線有且只有一個交點，

聯立①②得，，

，

△，

，

，

，

，

直線的解析式為

如圖1，記直線與軸的交點為，則，

；

（3）由（2）知，，

Ⅰ、當點在軸上方時，如圖2，

將線段以點為旋轉中心順時針旋轉得到線段，連接，則，

在中，，

，

，

點是與拋物線的交點，

過點作，過點作于，過點作于，

，，

，，

，

，

由旋轉知，，，

，

，

，

，，

，，，，

直線的解析式為③，

拋物線的解析式為④，

聯立③④解得，或，

，，

Ⅱ、由Ⅰ知，點的坐標為，，，，

點與點關于軸對稱，

點是直線與拋物線的交點，

，

直線的解析式為⑤，

聯立④⑤，解得，或，

，，即滿足條件的點的坐標為，或，．