Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2+bx+c交x軸于A、B兩點，其中點A坐標為（1，0），與y軸交于點C（0，﹣3）．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）如圖①，連接AC，點P在拋物線上，且滿足∠PAB＝2∠ACO．求點P的坐標；

（3）如圖②，點Q為x軸下方拋物線上任意一點，點D是拋物線對稱軸與x軸的交點，直線AQ、BQ分別交拋物線的對稱軸于點M、N．請問DM+DN是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的函數表達式為y＝x2+2x﹣3；（2）點P的坐標為，或，；（3）為定值8．

【解析】

（1）把點、坐標代入拋物線解析式即求得、的值．

（2）點可以在軸上方或下方，需分類討論．①若點在軸下方，延長到，使構造等腰，作中點，即有，利用的三角函數值，求、的長，進而求得的坐標，求得直線的解析式后與拋物線解析式聯立，即求出點坐標．②若點在軸上方，根據對稱性，一定經過點關于軸的對稱點，求得直線的解析式后與拋物線解析式聯立，即求出點坐標．

（3）設點橫坐標為，用表示直線、的解析式，把分別代入即求得點、的縱坐標，再求、的長，即得到為定值．

解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經過點A（1，0），C（0，﹣3）

解得：

∴拋物線的函數表達式為y＝x2+2x﹣3

（2）①若點P在x軸下方，如圖1，

延長AP到H，使AH＝AB，過點B作BI⊥x軸，連接BH，作BH中點G，連接并延長AG交BI于點F，過點H作HI⊥BI于點I

∵當x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1

∴B（﹣3，）

∵A（1，0），C（0，﹣3）

，，，

中，，

∵AB＝AH，G為BH中點

∴AG⊥BH，BG＝GH

∴∠BAG＝∠HAG，即∠PAB＝2∠BAG

∵∠PAB＝2∠ACO

∴∠BAG＝∠ACO

中，，

中，，，

，

，，即，

設直線解析式為

解得：

直線

解得：（即點，

，；

②若點在軸上方，如圖2，

在上截取，則與關于軸對稱

，

設直線解析式為

解得：

直線

解得：（即點，

，．

綜上所述，點的坐標為，或，．

（3）為定值，

拋物線的對稱軸為：直線

，

設，

設直線解析式為

解得：

直線

當時，

設直線解析式為

解得：

直線

當時，

，為定值．