Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，O是對角線AC與BD的交點，M是BC邊上的動點（點M不與B、C重合），CN⊥DM，CN與AB交于點N，連接OM、ON、MN.下列四個結論：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③AN2＋CM2＝MN2；④若AB＝2，則S△OMN的最小值是.其中正確結論的個數是（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】D

【解析】

①由正方形的性質得出CD=BC，∠BCD=90°，證出∠BCN=∠CDM，由ASA即可得出結論；

②由①得CM=BN，根據∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB證明△OCM≌△OBN得OM=ON，∠COM=∠BON，進而證明∠DOM=∠CON，再根據DO=CO可證△CON≌△DOM（SAS）；

③根據AB=BC，CM=BN得BM=AN，在Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2，從而AN2+CM2=MN2；

④先證明四邊形BMON的面積是定值1，根據△MNB的面積最大時，△MNO的面積最小，設BN=x=CM，則BM=2-x，得△MNB的面積=x（2-x）=-x2+x，求出△MNB的面積最大值，從而得出結論.

∵正方形ABCD中，CD=BC，∠BCD=90°，

∴∠BCN+∠DCN=90°，

又∵CN⊥DM，

∴∠CDM+∠DCN=90°，

∴∠BCN=∠CDM，

又∵∠CBN=∠DCM=90°，

∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正確；

根據△CNB≌△DMC，可得CM=BN，

又∵∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB，

∴△OCM≌△OBN（SAS），

∴OM=ON，∠COM=∠BON，

∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BON，即∠DOM=∠CON，

又∵DO=CO，

∴△CON≌△DOM（SAS），故②正確；

∵AB=BC，CM=BN，

∴BM=AN，

又∵Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2，

∴AN2+CM2=MN2，故③正確；

∵△OCM≌△OBN，

∴四邊形BMON的面積=△BOC的面積=1，即四邊形BMON的面積是定值1，

∴當△MNB的面積最大時，△MNO的面積最小，

設BN=x=CM，則BM=2-x，

∴△MNB的面積=x（2-x）=-x2+x=，

∴當x=1時，△MNB的面積有最大值，

此時S△OMN的最小值是1-=，故④正確；

綜上所述，正確結論的個數是4個，

故選D．