Question

【題目】如圖邊長為1的正方形ABCD被兩條與邊平行的線段EF、GH分割為四個小矩形，EF與GH交于點P

（1）若AG=AE，證明：AF=AH；
（2）若矩形PFCH的面積，恰矩形AGPE面積的兩倍，試確定∠HAF的大小；
（3）若矩形EPHD的面積為 ，求Rt△GBF的周長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：證明：如圖1中，連接AF、AH，

由題意知四邊形AGHD與四邊形AEFB均為矩形，

∴AG=DH，AE=BF，

∵AG=AE，

∴DH=BF，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=AD，∠B=∠D=90°，

在Rt△ADH與Rt△ABF中，

，

∴△ABF≌△ADH，

∴AF=AH；

（2）

解：結論：∠HAF=45°．

理由：設AG=a，BG=b，AE=x，ED=y．

則 ，

∴a﹣x=y﹣b，兩邊平方得a2﹣2ax+x2=y2﹣2yb+b2，

∴得a2﹣2ax+x2=y2﹣4ax+b2，

∴（a+x）2=y2+b2，

∵y2+b2=FH2，

∴a+x=FH，

∵AG=DH=a，AE=BF=x，

∴DH+BF=FH，

延長FB到M，使得BM=DH，連接AM，

∵AD=AB，∠D=∠ABM，DH=BM，

∴△ADH≌△ABM，

∴AH=AM，∠DAH=∠BAM，

∴∠MAH=∠BAD=90°，

∵AF=AF，AM=AH，FM=FH，

∴△AFM≌△AFH，

∴∠FAH=∠FAM=45°

（3）

解：如圖3中，連接GF，設BC=x，BF=y，則FG= ，

∴（x﹣1）（y﹣1）= ，∴xy﹣x﹣y+1= ，∴xy﹣x﹣y=﹣

∴x2+y2=x2+y2+1+2xy﹣2x﹣2y，

∴ =1﹣x﹣y，

得x+y+ =1，

∴Rt△GBF的周長=1．

【解析】（1）如圖1中，連接AF、AH，由題意知四邊形AGHD與四邊形AEFB均為矩形，只要證明△ABF≌△ADH即可．（2）結論：∠HAF=45°．設AG=a，BG=b，AE=x，ED=y．由 ，推出（a+x）2=y2+b2 ， 由y2+b2=FH2 ， 推出a+x=FH，由AG=DH=a，AE=BF=x，推出DH+BF=FH，延長FB到M，使得BM=DH，連接AM，只要證明△ADH≌△ABM即可解決問題．（3）如圖3中，連接GF，設BC=x，BF=y，則FG= ，由（x﹣1）（y﹣1）= ，推出xy﹣x﹣y+1= ，推出xy﹣x﹣y=﹣ 推出x2+y2=x2+y2+1+2xy﹣2x﹣2y，推出 =1﹣x﹣y，得x+y+ =1，延長即可解決問題．
【考點精析】通過靈活運用矩形的性質和正方形的性質，掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形即可以解答此題．