Question

【題目】理解：數學興趣小組在探究如何求tan15°的值，經過思考、討論、交流，得到以下思路：
思路一 如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延長CB至點D，使BD=BA，連接AD．設AC=1，則BD=BA=2，BC=．tanD=tan15°===2﹣．
思路二 利用科普書上的和（差）角正切公式：tan（α±β）=．假設α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）===2﹣．
思路三 在頂角為30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以…
思路四 …
請解決下列問題（上述思路僅供參考）．

（1）類比：求出tan75°的值；
（2）應用：如圖2，某電視塔建在一座小山上，山高BC為30米，在地平面上有一點A，測得A，C兩點間距離為60米，從A測得電視塔的視角（∠CAD）為45°，求這座電視塔CD的高度；

（3）拓展：如圖3，直線y=x﹣1與雙曲線y=交于A，B兩點，與y軸交于點C，將直線AB繞點C旋轉45°后，是否仍與雙曲線相交？若能，求出交點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）方法一：如圖1，

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延長CB至點D，使BD=BA，連接AD．

設AC=1，則BD=BA=2，BC=．

tan∠DAC=tan75°====2+；

方法二：tan75°=tan（45°+30°）

====2+；

（2）

如圖2，

在Rt△ABC中，

AB===，

sin∠BAC===，即∠BAC=30°．

∵∠DAC=45°，∴∠DAB=45°+30°=75°．

在Rt△ABD中，tan∠DAB=，

∴DB=ABtan∠DAB=（2+）=+90，

∴DC=DB﹣BC=+90﹣30=+60．

答：這座電視塔CD的高度為（+60）米；

（3）

①若直線AB繞點C逆時針旋轉45°后，與雙曲線相交于點P，如圖3．

過點C作CD∥x軸，過點P作PE⊥CD于E，過點A作AF⊥CD于F．

解方程組，得

或，

∴點A（4，1），點B（﹣2，﹣2）．

對于y=x﹣1，當x=0時，y=﹣1，則C（0，﹣1），OC=1，

∴CF=4，AF=1﹣（﹣1）=2，

∴tan∠ACF===，

∴tan∠PCE=tan（∠ACP+∠ACF）=tan（45°+∠ACF）

=

==3，即=3．

設點P的坐標為（a，b），

則有，

解得：或，

∴點P的坐標為（﹣1，﹣4）或（，3）；

②若直線AB繞點C順時針旋轉45°后，與x軸相交于點G，如圖4．

由①可知∠ACP=45°，P（（，3），則CP⊥CG．

過點P作PH⊥y軸于H，

則∠GOC=∠CHP=90°，∠GCO=90°﹣∠HCP=∠CPH，

∴△GOC∽△CHP，

∴=．

∵CH=3﹣（﹣1）=4，PH=，OC=1，

∴==，

∴GO=3，G（﹣3，0）．

設直線CG的解析式為y=kx+b，

則有，

解得，

∴直線CG的解析式為y=x﹣1．

聯立，

消去y，得

=x﹣1，

整理得：x2+3x+12=0，

∵△=32﹣4×1×12=﹣39＜0，

∴方程沒有實數根，

∴點P不存在．

綜上所述：直線AB繞點C旋轉45°后，能與雙曲線相交，交點P的坐標為（﹣1，﹣4）或（，3）．

【解析】（1）如圖1，只需借鑒思路一或思路二的方法，就可解決問題；
（2）如圖2，在Rt△ABC中，運用勾股定理求出AB，運用三角函數求得∠BAC=30°．從而得到∠DAB=75°．在Rt△ABD中，運用三角函數就可求出DB，從而求出DC長；
（3）①若直線AB繞點C逆時針旋轉45°后，與雙曲線相交于點P，如圖3．過點C作CD∥x軸，過點P作PE⊥CD于E，過點A作AF⊥CD于F，可先求出點A、B、C的坐標，從而求出tan∠ACF的值，進而利用和（差）角正切公式求出tan∠PCE=tan（45°+∠ACF）的值，設點P的坐標為（a，b），根據點P在反比例函數的圖象上及tan∠PCE的值，可得到關于a、b的兩個方程，解這個方程組就可得到點P的坐標；②若直線AB繞點C順時針旋轉45°后，與x軸相交于點G，如圖4，由①可知∠ACP=45°，P（（，3），則有CP⊥CG．過點P作PH⊥y軸于H，易證△GOC∽△CHP，根據相似三角形的性質可求出GO，從而得到點G的坐標，然后用待定系數法求出直線CG的解析式，然后將直線CG與反比例函數的解析式組成方程組，消去y，得到關于x的方程，運用根的判別式判定，得到方程無實數根，此時點P不存在．
【考點精析】關于本題考查的公式法和求根公式，需要了解要用公式解方程，首先化成一般式．調整系數隨其后，使其成為最簡比．確定參數abc，計算方程判別式．判別式值與零比，有無實根便得知．有實根可套公式，沒有實根要告之；根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根才能得出正確答案．