Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，tanB=，半徑為2的⊙C，分別交AC，BC于點D，E，得到 ．

（1）求證：AB為⊙C的切線；
（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：過點C作CH⊥AB于H，如圖，

在Rt△ABC中，∵tanB==，

∴BC=2AC=，

∴AB===5，

∵CHAB=ACBC，

∴CH==2，

∵⊙C的半徑為2，

∴CH為⊙C的半徑，

而CH⊥AB，

∴AB為⊙C的切線；

（2）

解：S陰影部分=S△ACB﹣S扇形CDE

=×2×5﹣

=5﹣π．

【解析】（1）過點C作CH⊥AB于H，如圖，先在Rt△ABC中，利用正切的定義計算出BC=2AC=2，再利用勾股定理計算出AB=5，接著利用面積法計算出CH=2，則可判斷CH為⊙C的半徑，然后根據切線的判定定理即可得到AB為⊙C的切線；
（2）根據三角形面積公式和扇形的面積公式，利用S陰影部分=S△ACB﹣S扇形CDE進行計算即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對切線的判定定理的理解，了解切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．