Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中， M為BC邊上的中點， D是射線AM上的一個動點，以CD為一邊且在CD的下方作等邊△CDE，連接BE．

（1）填空：若D與M重合時（如圖1）∠CBE= 度；

（2）如圖2，當點D在線段AM上時（點D不與A、M重合），請判斷（1）中結論是否成立？并說明理由；

（3）在（2）的條件下，如圖3，若點P、Q在BE的延長線上，且CP=CQ=4，AB=6，試求PQ的長．

Answer 1

【答案】（1）30°（2）（1）中結論成立．理由見解析（3）．

【解析】

(1)如圖1.

∵在等邊△ABC中，M為BC邊上的中點，D與M重合，

∴BD=CD，

∵△CDE是等邊三角形，

∴∠CDE=60°，CD=DE，

∴BD=DE，

∴∠BED=∠DBE，

又∵∠BED+∠DBE=∠CDE=60°，

∴∠DBE=30°,即∠CBE=30°；

故答案為30；

（2）（1）中結論成立．

證明：∵正△ABC、正△CDE ∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACD＝∠BCE

∴△ACD≌△BCE ∴∠CAD＝∠CBE． 又∵正△ABC中，M是BC中點．

∴∠CAD＝∠BAC＝30°． ∴∠CBE＝30°

（3）

作CF⊥PQ于F ∵CP＝CQ ∴PF＝QF＝PQ

由（2）Rt△BCF中，∠CBF＝30° ∴CF＝BC＝AB＝3

Rt△PCF中，PF＝∴PQ＝2PF＝