【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，點P為AB邊上一動點（不與點A，B重合），DP交AC于點Q．
(1)求證：△APQ∽△CDQ;
(2)當PD⊥AC時，求線段PA的長度；
(3)當點P在線段AC的垂直平分線上時，
求sin∠ CPB的值．
【答案】（1）證明見解析；（2）PA=
；（3）sin∠ CPB=
.
【解析】
試題分析：（1）利用兩角對應相等的兩個三角形易判斷△APQ∽△CDQ；（2）由條件可推出△APD∽△DAC，得出
，代入數值可求出PA的值；（3）由勾股定理能夠求出PC的長度，再在Rt△CBP中求sin∠ CPB的值.
試題解析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠CAB=∠DCA，∠APQ=∠CDQ，∴△APQ∽△CDQ .
（2）PD⊥AC，∴∠ACD+∠PDC=90° ，∵∠PDA+∠PDA=90°，∴∠ACD=∠PDA，∵∠ADC=∠PAD=90°，∴△ADC∽△PDA，∴
，
，∴PA=.（3）當點P在線段AC的垂直平分線上時，PA=PC.設PA=x，則PB=10-x.又在矩形ABCD中，∠B=90°，∴
，∴
.解得：x=
，∴PC=PA=.∴sin∠CPB=
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【題目】晚飯后，小林和小京在社區廣場散步，兩人在燈下沿直線NQ移動，如圖，當小林正好站在廣場的A點（距N點5塊地磚長）時，其影長AD恰好為1塊地磚長；當小京正好站在廣場的B點（距N點9塊地磚長）時，其影長BF恰好為2塊地磚長．已知廣場地面由邊長為0.8米的正方形地磚鋪成，小林的身高AC為1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ．請你根據以上信息，求出小京身高BE的長．（結果精確到0.01米）
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，點O是等邊△ABC內一點，D是△ABC外的一點，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，連接OD．
（1）求證：△OCD是等邊三角形；
（2）當α=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；
（3）△AOD能否為等邊三角形？為什么？
（4）探究：當α為多少度時，△AOD是等腰三角形．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】課前預習是學習數學的重要環節，為了了解所教班級學生完成數學課前預習的具體情況，王老師對本班部分學生進行了為期半個月的跟蹤調查，他將調查結果分為四類，A：很好；B:較好；C:一般；D:較差．并將調查結果繪制成以下兩幅不完整的統計圖，請你根據統計圖解答下列問題：
(l) 王老師一共調查了多少名同學？
(2) C類女生有多少名？D類男生有多少名？并將上面條形統計圖補充完整；
(3) 為了共同進步，王老師想從被調查的A類和D類學生中各隨機選取一位同學進行“一幫一”互助學習，請用列表法或畫樹形圖的方法求出所選兩位同學中男同學不少于1人的概率．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，對于點P(a，b)和點Q(a，b′)，給出如下定義：
若
，則稱點Q為點P的限變點．例如：點(2，3)的限變點的坐標是(2，3)，點(－2，5)的限變點的坐標是(－2，－5)．
（1）①點(
，1)的限變點的坐標是 ；
②在點A(－2，－1)，B(－1，2)中有一個點是函數y=
圖象上某一個點的限變點，這個點是 ；
（2）若點P在函數y=－x＋3(－2≤x≤k，k＞－2)的圖象上，其限變點Q的縱坐標b′的取值范圍是－5≤b′≤2，求k的取值范圍；
（3）若點P在關于x的二次函數y= x2－2tx＋t2＋t的圖象上，其限變點Q的縱坐標b′的取值范圍是b′≥m或b′＜n，其中m＞n．令s=m－n，求s關于t的函數解析式并直接寫出s的取值范圍．
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