Question

18．如圖，已知E、F分別是?ABCD的邊BC、AD上的點，且BE=DF．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；
（2）若∠BAC=90°，AC平分∠EAF，且BC=8cm，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）利用平行四邊形的性質得出AF∥EC，進而得出AF=EC，進而求出即可；
（2）利用菱形的性質以及三角形內角和定理得出∠2=∠ACE，進而求出∠BAE=∠B，得出BE=AE=CE，再利用直角三角形斜邊上的中線性質得出答案．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，且AD=BC，
∴AF∥EC，
∵BE=DF，
∴AF=EC，
∴四邊形AECF是平行四邊形．
（2）解：∵AC平分∠EAF，
∴∠1=∠2，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠ACE，
∴∠2=∠ACE，
∴AE=CE，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAE=90°-∠1，∠B=90°-∠ACE，
∴∠BAE=∠B，
∴AE=BE，
∴BE=AE=CE=$\frac{1}{2}$BC=4cm．

點評 此題主要考查了平行四邊形的性質與判定、等腰三角形的判定、直角三角形斜邊上的中線性質；熟練掌握平行四邊形的判定與性質，證出BE=AE=CE是解決問題（2）的關鍵．