Question

3．△ABC為等邊三角形，點M是射線BC上任意一點，點N是射線CA上任意一點，且BM=CN，直線AM與BN相交于Q點，∠AQN的度數為60°或120°．

Answer 1

分析 ①先根據已知利用SAS判定△ABM≌△BCN，再根據全等三角形的性質求得∠AQN=∠ABC=60°，②根據三角形全等得出∠M=∠N，根據求出∠M+∠CAM=∠ACB=60°，推出∠N+∠NAQ=60°，即可得出答案．

解答 解：①如圖1，點M在線段BC上，
∵△ABC為正三角形，
∴∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC，
在△AMB和△BNC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABC=∠C}\\{BM=CN}\end{array}\right.$，
△AMB≌△BNC（SAS），
∵∠ANB=∠C+∠NBC=60°+∠NBC，
∠MAN=∠BAC-∠MAB=60°-∠MAB，
又∵∠NBC=∠MAB（全等三角形對應角相等），
∴∠ANB+∠MAN=120°，
又∵∠ANQ+∠MAN+∠AQN=180°，
∴∠AQN=180°-∠ANB-∠MAN，
∠AQN=180°-（∠ANB+∠MAN），
=180°-120°=60°，
②如圖2，點M在BC的延長線上，
∵△BCN≌△ABM，
∴∠M=∠N，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠M+∠CAM=∠ACB=60°，
∵∠M=∠N，∠CAM=∠NAQ，
∴∠N+∠NAQ=60°，
∴∠BQM=∠N+∠NAQ=60°，
∴∠AQN=120°．
綜上所述：∠AQN的度數為60°或120°．
故答案為：60°或120°．

點評 本題考查了等邊三角形性質，全等三角形的性質和判定，三角形的外角性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．