Question

【題目】已知：如圖1，在平面直角坐標系中，一次函數y＝x+3交x軸于點A，交y軸于點B，點C是點A關于y軸對稱的點，過點C作y軸平行的射線CD，交直線AB與點D，點P是射線CD上的一個動點．

(1)求點A，B的坐標．

(2)如圖2，將△ACP沿著AP翻折，當點C的對應點C′落在直線AB上時，求點P的坐標．

(3)若直線OP與直線AD有交點，不妨設交點為Q(不與點D重合)，連接CQ，是否存在點P，使得S△CPQ＝2S△DPQ，若存在，請求出對應的點Q坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣4，0），B（0，3）；（2）P（4，）；（3）滿足條件的點Q（12，12）或（，4）．

【解析】

令x=0，y=0即可求出A，B坐標.

因為點C是點A關于y軸對稱的點，求得C坐標，因為CD⊥x軸，所以求得D坐標，由折疊知，AC'=AC，所以C'D=AD﹣AC'，設PC=a，在Rt△DC'P中通過勾股定理求得a值，即可求得P點坐標.

在S△CPQ=2S△DPQ情況下分類討論P點坐標即可求解.

解：（1）令x=0，則y=3，

∴B（0，3），

令y=0，則x+3=0，

∴x=﹣4，

∴A（﹣4，0）；

（2）∵點C是點A關于y軸對稱的點，

∴C（4，0），

∵CD⊥x軸，

∴x=4時，y=6，∴D（4，6），

∴AC=8，CD=6，AD=10，

由折疊知，AC'=AC=8，

∴C'D=AD﹣AC'=2，

設PC=a，

∴PC'=a，DP=6﹣a，

在Rt△DC'P中，a2+4=（6﹣a）2，

∴a=，

∴P（4，）；

（3）設P（4，m），

∴CP=m，DP=|m﹣6|，

∵S△CPQ=2S△DPQ，

∴CP=2PD，

∴2|m﹣6|=m，

∴m=4或m=12，

∴P（4，4）或P（4，12），

∵直線AB的解析式為y=x+3①，

當P（4，4）時，直線OP的解析式為y=x②，

聯立①②解得，x=12，y=12，

∴Q（12，12），

當P（4，12）時，直線OP解析式為y=3x③，

聯立①③解得，x=，y=4，

∴Q（，4），

即：滿足條件的點Q（12，12）或（，4）．