Question

【題目】在△ABC中，∠ACB＝90，AC＝BC＝1，E、F為線段AB上兩動點，且∠ECF＝45°，過點E、F分別作BC、AC的垂線相交于點M，垂足分別為H、G．現有以下結論：

①AB＝； ②當點E與點B重合時，MH＝； ③AF＋BE＝EF；④F、E分別不與端點A、B重合時，總有S△AGF+ S△EBH= S△FEM，其中正確結論為--------------------------（ ）

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】（1）∵在△ABC中，∠ACB＝90，AC＝BC＝1，

∴AB=，故①正確；

（2）如下圖1，當點E與點B重合時，點H與點B重合，

∴MB⊥BC，∠MBC=90°，

∵MG⊥AC，

∴∠MGC=∠C=∠MBC=90°，

∴MG∥BC，四邊形MGCB是矩形，

∴MH=MB=CG，

∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=45°=∠ACF，

∴AF=CF=BF，

∴FG是△ACB的中位線，

∴GC=AC=，

∴MH=GC=，故②正確；

（3）如下圖2所示，

∵AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠A=∠5=45°．

將△ACF順時針旋轉90°至△BCD，則CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°，BD=AF；

∵∠2=45°，

∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，

∴∠DCE=∠2，

∵在△ECF和△ECD中，CF=CD，∠2=∠DCE，CE=CE，

∴△ECF≌△ECD（SAS），

∴EF=DE，

∵∠5=45°，

∴∠BDE=90°，

∴DE2=BD2+BE2，即EF2=AF2+BE2，故③錯誤；

（4）∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠A=∠B=45°，

∵MG⊥AC，MH⊥BC，

∴∠AGF=∠BHE=90°，

∴∠AFG=∠BEH=45°，

∴∠MFE=∠AFG=45°，∠MEF=∠BEH=45°，

∴△AGF、△BEH、△MEF都是等腰直角三角形，

∴AG=FG=AF，BH=HE=BE，ME=MF=EF，

∴S△AGF=AF2，S△BEH=BE2，S△MEF=EF2，

∵EF2=AF2+BE2，

∴S△AGF+S△BEH=S△MEF，故④正確.

綜上所述，正確的結論是①②④.

故選B.