Question

【題目】已知：如下圖， AB∥CD，點E，F分別為AB，CD上一點.

（1） 在AB，CD之間有一點M（點M不在線段EF上），連接ME，MF，試探究∠AEM，∠EMF，∠MFC之間有怎樣的數量關系. 請補全圖形，并在圖形下面寫出相應的數量關系，選其中一個進行證明.

（2）如下圖，在AB，CD之間有兩點M，N，連接ME，MN，NF，請選擇一個圖形寫出∠AEM，∠EMN，∠MNF，∠NFC 存在的數量關系（不需證明）.

Answer 1

【答案】（1）∠EMF＝∠AEM＋∠MFC，∠AEM＋∠EMF＋∠MFC＝360°（2）第一圖數量關系：∠EMN＋∠MNF－∠AEM－∠NFC＝180°.第二圖數量關系：∠EMN－∠MNF＋∠AEM＋∠NFC＝180°.

【解析】試題分析：(1)分點M在EF的左側和右側兩種情況，當點M在EF的左側時，如圖，∠EMF＝∠AEM＋∠MFC，過點M作MP∥AB，可得AB∥CD∥MP， 根據平行線的性質可得∠4＝∠3， ∠1＝∠2，即可證得∠EMF＝∠AEM＋∠MFC；當點M在EF的右側時，類比左側的方法即可證得∠AEM＋∠EMF＋∠MFC＝360°；（2）類比（1）的方法作平行線，利用平行線的性質即可解決.

試題解析：

（1）∠EMF＝∠AEM＋∠MFC.

證明：過點M作MP∥AB.

∵AB∥CD，

∴MP∥CD.

∴∠4＝∠3.

∵MP∥AB，

∴∠1＝∠2.

∵∠EMF＝∠2＋∠3，

∴∠EMF＝∠1＋∠4.

∴∠EMF＝∠AEM＋∠MFC.

∠AEM＋∠EMF＋∠MFC＝360°

證明：過點M作MQ∥AB.

∵AB∥CD，

∴MQ∥CD.

∴∠CFM＋∠1＝180°.

∵MQ∥AB，

∴∠AEM＋∠2＝180°.

∴∠CFM＋∠1+∠AEM＋∠2＝360°

∵∠EMF＝∠1＋∠2

∴∠AEM＋∠EMF＋∠MFC＝360°.

（2）第一圖數量關系：∠EMN＋∠MNF－∠AEM－∠NFC＝180°.

第二圖數量關系：∠EMN－∠MNF＋∠AEM＋∠NFC＝180°.