Question

閱讀下列材料并解答后面的問題：利用完全平方公式（a±b）²=a²±2ab+b²，通過配方可對a²+b²進行適當的變形，如a²+b²=（a+b）²-2ab或a²+b²=（a-b）²+2ab．從而使某些問題得到解決．例：已知a+b=5，ab=3，求a²+b²的值．
解：a²+b²=（a+b）²-2ab=5²-2×3=19．
問題：（1）已知a+

1

a

=6，則a²+

1

a2

=

 

；
（2）已知a-b=2，ab=3，求a⁴+b⁴的值．

Answer 1

分析：（1）把已知條件兩邊平方，然后整理即可求解；
（2）先根據a²+b²=（a-b）²+2ab求出a²+b²的值，然后根據所求結果a²b²=9同理即可求出a⁴+b⁴的值．

解答：解：（1）∵(a+

1

a

)2=a²+2

1

a2

∴a²+

1

a2

=(a+

1

a

)2-2=34；

（2）∵a-b=2，ab=3，
∴a²+b²=（a-b）²+2ab，
=4+2×3，
=10，
a²b²=9，
∴a⁴+b⁴=（a²+b²）²-2a²b²，
=100-2×9，
=82．

點評：本題考查了完全平方公式，根據完全平方公式整理成已知條件的形式是求解的關鍵．