Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，延長AC至E，使CE=AC．

（1）求證：DE=DB；

（2）連接BE，試判斷△ABE的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）△ABE是等邊三角形

【解析】

（1）由直角三角形的性質和角平分線得出∠DAB=∠ABC，得出DA=DB，再由線段垂直平分線的性質得出DE=DA，即可得出結論；（2）由線段垂直平分線的性質得出BA=BE，再由∠CAB=60°，即可得出△ABE是等邊三角形．

（1）證明：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴BC⊥AE，∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAB=∠CAB=30°=∠ABC，
∴DA=DB，
∵CE=AC，
∴BC是線段AE的垂直平分線，
∴DE=DA，
∴DE=DB；

（2）△ABE是等邊三角形；理由如下：
連接BE，如圖：
∵BC是線段AE的垂直平分線，
∴BA=BE，
即△ABE是等腰三角形，
又∵∠CAB=60°，
∴△ABE是等邊三角形．