Question

【題目】在△ABC中，∠ABC=45°，tan∠ACB= ．如圖，把△ABC的一邊BC放置在x軸上，有OB=14，OC= ，AC與y軸交于點(diǎn)E．

（1）求AC所在直線的函數(shù)解析式；
（2）過點(diǎn)O作OG⊥AC，垂足為G，求△OEG的面積；
（3）已知點(diǎn)F（10，0），在△ABC的邊上取兩點(diǎn)P，Q，是否存在以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△OFP全等，且這兩個(gè)三角形在OP的異側(cè)？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在Rt△OCE中，OE=OCtan∠OCE= =2 ，∴點(diǎn)E（0，2 ）．

設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為y=kx+2 ，有 ，解得：k=- ．

∴直線AC的函數(shù)解析式為y=

（2）

解：在Rt△OGE中，tan∠EOG=tan∠OCE= = ，

設(shè)EG=3t，OG=5t，OE= = t，∴ ，得t=2，

故EG=6，OG=10，

∴S△OEG=

（3）

解：存在．

①當(dāng)點(diǎn)Q在AC上時(shí)，點(diǎn)Q即為點(diǎn)G，

如圖1，作∠FOQ的角平分線交CE于點(diǎn)P1，

由△OP1F≌△OP1Q，則有P1F⊥x軸，由于點(diǎn)P1在直線AC上，當(dāng)x=10時(shí)，

y=﹣ = ，

∴點(diǎn)P1（10， ）．

②當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時(shí)，

如圖2，有OQ=OF，作∠FOQ的角平分線交CE于點(diǎn)P2，

過點(diǎn)Q作QH⊥OB于點(diǎn)H，設(shè)OH=a，

則BH=QH=14﹣a，

在Rt△OQH中，a2+（14﹣a）2=100，

解得：a1=6，a2=8，

∴Q（﹣6，8）或Q（﹣8，6）．

連接QF交OP2于點(diǎn)M．

當(dāng)Q（﹣6，8）時(shí)，則點(diǎn)M（2，4）．

當(dāng)Q（﹣8，6）時(shí)，則點(diǎn)M（1，3）．

設(shè)直線OP2的解析式為y=kx，則

2k=4，k=2．

∴y=2x．

解方程組 ，得 ．

∴P2（ ）；

當(dāng)Q（﹣8，6）時(shí)，則點(diǎn)M（1，3），

同理可求P3（ ）；

如圖4，由QP4∥OF，QP4=OF=10，

設(shè)點(diǎn)P4的橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為（x﹣10），

∵yQ=yP，直線AB的函數(shù)解析式為：y=x+14，

∴x﹣10+14=﹣ x+2 ，

解得：x= ，可得y= ，

∴點(diǎn)P4（ ， ），

③當(dāng)Q在BC邊上時(shí)，如圖5，OQ=OF=10，點(diǎn)P5在E點(diǎn)，

∴P5（0，2 ），

綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（10， ）或（ ）或（ ）或（0，2 ），（ ， ）．

【解析】（1）根據(jù)三角函數(shù)求E點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求解；（2）在Rt△OGE中，運(yùn)用三角函數(shù)和勾股定理求EG，OG的長度，再計(jì)算面積；（3）分兩種情況討論求解：①點(diǎn)Q在AC上；②點(diǎn)Q在AB上③當(dāng)Q在BC邊上時(shí)．求直線OP與直線AC的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解二次函數(shù)的性質(zhì)(增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減小；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小)．