Question

【題目】（1）如圖①，小明同學作出兩條角平分線，得到交點，就指出若連接，則平分，你覺得有道理嗎？為什么？

（2）如圖②，中，，，，的角平分線上有一點，設點到邊的距離為.（為正實數）

小季、小何同學經過探究，有以下發現：

小季發現：的最大值為.

小何發現：當時，連接，則平分.

請分別判斷小季、小何的發現是否正確？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）有道理，理由詳見解析；（2）小季和小何都正確，理由詳見解析

【解析】

（1）過I點分別作IM，IN，IK垂直于AB，BC，AC于點M，N，K，根據角平分線的性質即可得解；

（2）根據等積法的相關方法進行求解即可.

（1）如下圖，過I點分別作IM，IN，IK垂直于AB，BC，AC于點M，N，K，連接IC

∵AI平分∠BAC，IM⊥AB，IK⊥AC

∴IM=IK，同理IM=IN

∴IK=IN

又∵IK⊥AC，IN⊥BC

∴CI平分∠BCA；

（2）如下圖，過C點作CE⊥AB于點E，則d的最大值為CE長

∵，

∴

又∵

∴

∴的最大值為

∴小季正確；

假設此時平分，如下圖，連接AI，BI，過I點作IG，IH，IF分別垂直于AC，BC，AB于點G，H，F

∵AI平分，CD平分∠ACB

∴BI平分∠CBA

∵IG⊥AC，IH⊥BC，ID⊥AB

∴IG=IH=IF=d

∵

∴

∴

∴

∴假設成立，當時，連接，則平分

∴小何正確.