Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，若點P從點A出發，以每秒2cm的速度沿折線A-C-B-A運動，設運動時間為t秒（t＞0）．

（1）若點P在AC上，且滿足PA=PB時，求出此時t的值；
（2）若點P恰好在∠BAC的角平分線上，求t的值；
（3）在運動過程中，直接寫出當t為何值時，△BCP為等腰三角形．

Answer 1

【答案】
（1）解：設存在點P，使得PA=PB，

此時PA=PB=2t，PC=4-2t，

在Rt△PCB中，PC2+CB2=PB2，

即：（4-2t）2+32=（2t）2，

解得：t= ，

∴當t= 時，PA=PB

（2）解：當點P在∠CAB的平分線上時，如圖1，過點P作PE⊥AB于點E，

此時BP=7-2t，PE=PC=2t-4，BE=5-4=1，

在Rt△BEP中，PE2+BE2=BP2，

即：（2t-4）2+12=（7-2t）2，

解得：t= ，

∴當t= 時，P在△ABC的角平分線上

（3）解：在Rt△ABC中，∵AB=5cm，BC=3cm，

∴AC=4cm，

根據題意得：AP=2t，

當P在AC上時，△BCP為等腰三角形，

∴PC=BC，即4-2t=3，

∴t= ，

當P在AB上時，△BCP為等腰三角形，

①CP=PB，點P在BC的垂直平分線上，

如圖2，過P作PE⊥BC于E，

∴BE= BC= ，

∴PB= AB，即2t-3-4= ，解得：t= ，

②PB=BC，即2t-3-4=3，

解得：t=5，

③PC=BC，如圖3，過C作CF⊥AB于F，

∴BF= BP，

∵∠ACB=90°，

由射影定理得；BC2=BFAB，

即33= ×5，

解得：t= ，

∴當t= ，5， ， 時，△BCP為等腰三角形．

【解析】（1）設存在點P，使得PA=PB，此時PA=PB=2t，PC=4-2t，根據勾股定理列方程即可得到結論；
（2）當點P在∠CAB的平分線上時，如圖1，過點P作PE⊥AB于點E，此時BP=7-2t，PE=PC=2t-4，BE=5-4=1，根據勾股定理列方程即可得到結論；
（3）在Rt△ABC中，根據勾股定理得到AC=4cm，根據題意得：AP=2t，當P在AC上時，△BCP為等腰三角形，得到PC=BC，即4-2t=3，求得t的值，，當P在AB上時，△BCP為等腰三角形，①CP=PB，點P在BC的垂直平分線上，如圖2，過P作PE⊥BC于E，求得t的值，②PB=BC，即2t-3-4=3，解得t的值，③PC=BC，如圖3，過C作CF⊥AB于F，由射影定理得；BC2=BFAB，列出方程求解即可得出結論。