Question

【題目】

（1）如圖1，在正方形ABCD中，M是BC邊（不含端點B、C）上任意一點，P是BC延長線上一點，N是∠DCP的平分線上一點．若∠AMN=90°，求證：AM=MN．

下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明．

證明：在邊AB上截取AE=MC，連ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．

∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE．

（下面請你完成余下的證明過程）

（2）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”（如圖2），N是∠ACP的平分線上一點，則當∠AMN=60°時，結論AM=MN是否還成立？請說明理由．

（3）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正邊形ABCD……X”，請你作出猜想：當∠AMN= °時，結論AM=MN仍然成立．（直接寫出答案，不需要證明）

Answer 1

【答案】

（1）證明略

（2）理由略

（3）

【解析】解：（1）∵AE=MC，∴BE=BM， ∴∠BEM=∠EMB=45°， ∴∠AEM=135°，

∵CN平分∠DCP，∴∠PCN=45°，∴∠AEM=∠MCN=135°

在△AEM和△MCN中：∵∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN

（2）仍然成立．

在邊AB上截取AE=MC，連接ME

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，

∴∠ACP=120°．

∵AE=MC，∴BE=BM

∴∠BEM=∠EMB=60°

∴∠AEM=120°．

∵CN平分∠ACP，∴∠PCN=60°，

∴∠AEM=∠MCN=120°

∵∠CMN=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠BAM

∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN

（3）