Question

【題目】已知二次函數y=x2﹣2（m+1）x+m（m+2）
（1）求證：無論m為任何實數，該函數圖象與x軸兩個交點之間的距離為定值．
（2）若該函數圖象的對稱軸為直線x=2，試求二次函數的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設拋物線與x軸的兩交點分別為（a，0），（b，0），

則a+b=2（m+1），ab=m（m+2），

所以|a﹣b|= = = =2，

即無論m為任何實數，該函數圖象與x軸兩個交點之間的距離為定值

（2）解：根據題意得x=﹣ =2，解得m=0，

則拋物線解析式為y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，

所以二次函數的最小值為﹣1

【解析】（1）設拋物線與x軸的兩交點分別為（a，0），（b，0），根據拋物線與x軸的交點問題，得到方程x2﹣2（m+1）x+m（m+2）=0的兩根分別為a與b，根據根與系數的關系得a+b=2（m+1），ab=m（m+2），而函數圖象與x軸兩個交點之間的距離可表示為|a﹣b|，然后根據代數式的變形得到|a﹣b|= = ，再利用整體代入的方法得到|a﹣b|= =2，由此可判斷函數圖象與x軸兩個交點之間的距離為定值．（2）根據拋物線的對稱軸方程得到x=﹣ =2，解得m=0，則拋物線解析式為y=x2﹣2x，然后配成頂點式得到二次函數的最小值．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的最值和拋物線與坐標軸的交點的相關知識點，需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；一元二次方程的解是其對應的二次函數的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．才能正確解答此題．