Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象交坐標軸于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三點，點P是直線BC下方拋物線上一動點．

（1）求這個二次函數的解析式；
（2）是否存在點P，使△POC是以OC為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由；
（3）動點P運動到什么位置時，△PBC面積最大，求出此時P點坐標和△PBC的最大面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設拋物線解析式為y=ax2+bx+c，

把A、B、C三點坐標代入可得 ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=x2﹣3x﹣4；

（2）

解：作OC的垂直平分線DP，交OC于點D，交BC下方拋物線于點P，如圖1，

∴PO=PD，此時P點即為滿足條件的點，

∵C（0，﹣4），

∴D（0，﹣2），

∴P點縱坐標為﹣2，

代入拋物線解析式可得x2﹣3x﹣4=﹣2，解得x= （小于0，舍去）或x= ，

∴存在滿足條件的P點，其坐標為（ ，﹣2）；

（3）

解：∵點P在拋物線上，

∴可設P（t，t2﹣3t﹣4），

過P作PE⊥x軸于點E，交直線BC于點F，如圖2，

∵B（4，0），C（0，﹣4），

∴直線BC解析式為y=x﹣4，

∴F（t，t﹣4），

∴PF=（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）=﹣t2+4t，

∴S△PBC=S△PFC+S△PFB= PFOE+ PFBE= PF（OE+BE）= PFOB= （﹣t2+4t）×4=﹣2（t﹣2）2+8，

∴當t=2時，S△PBC最大值為8，此時t2﹣3t﹣4=﹣6，

∴當P點坐標為（2，﹣6）時，△PBC的最大面積為8．

【解析】（1）由A、B、C三點的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；（2）由題意可知點P在線段OC的垂直平分線上，則可求得P點縱坐標，代入拋物線解析式可求得P點坐標；（3）過P作PE⊥x軸，交x軸于點E，交直線BC于點F，用P點坐標可表示出PF的長，則可表示出△PBC的面積，利用二次函數的性質可求得△PBC面積的最大值及P點的坐標．