Question

【題目】如圖，在⊙O中，直徑CD垂直于不過(guò)圓心O的弦AB，垂足為點(diǎn)N，連接AC，點(diǎn)E在AB上，且AE=CE
（1）求證：AC2=AEAB；
（2）過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，試判斷PB與PE是否相等，并說(shuō)明理由；
（3）設(shè)⊙O半徑為4，點(diǎn)N為OC中點(diǎn)，點(diǎn)Q在⊙O上，求線段PQ的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1，連接BC，

∵CD為⊙O的直徑，AB⊥CD，

∴ = ，

∴∠A=∠ABC，

∵EC=AE，

∴∠A=∠ACE，

∴∠ABC=∠ACE，

∵∠A=∠A，

∴△AEC∽△ACB，

∴ ，

∴AC2=AEAB

（2）解：PB=PE，理由是：

如圖2，連接OB，

∵PB為⊙O的切線，

∴OB⊥PB，

∴∠OBP=90°，

∴∠PBN+∠OBN=90°，

∵∠OBN+∠COB=90°，

∴∠PBN=∠COB，

∵∠PEB=∠A+∠ACE=2∠A，

∠COB=2∠A，

∴∠PEB=∠COB，

∴∠PEB=∠PBN，

∴PB=PE

（3）解：如圖3，∵N為OC的中點(diǎn)，

∴ON= OC= OB，

Rt△OBN中，∠OBN=30°，

∴∠COB=60°，

∵OC=OB，

∴△OCB為等邊三角形，

∵Q為⊙O任意一點(diǎn)，

連接PQ、OQ，

因?yàn)镺Q為半徑，是定值4，

則PQ+OQ的值最小時(shí)，PQ最小，

當(dāng)P、Q、O三點(diǎn)共線時(shí)，PQ最小，

∴Q為OP與⊙O的交點(diǎn)時(shí)，PQ最小，

∠A= ∠COB=30°，

∴∠PEB=2∠A=60°，

∠ABP=90°﹣30°=60°，

∴△PBE是等邊三角形，

Rt△OBN中，BN= =2 ，

∴AB=2BN=4 ，

設(shè)AE=x，則CE=x，EN=2 ﹣x，

Rt△CNE中，x2=22+（2 ﹣x）2，

x= ，

∴BE=PB=4 ﹣ = ，

Rt△OPB中，OP= = = ，

∴PQ= ﹣4= ．

則線段PQ的最小值是 ．

【解析】（1）證明△AEC∽△ACB，列比例式可得結(jié)論；（2）如圖2，證明∠PEB=∠COB=∠PBN，根據(jù)等角對(duì)等邊可得：PB=PE；（3）如圖3，先確定線段PQ的最小值時(shí)Q的位置：因?yàn)镺Q為半徑，是定值4，則PQ+OQ的值最小時(shí)，PQ最小，當(dāng)P、Q、O三點(diǎn)共線時(shí)，PQ最小，先求AE的長(zhǎng)，從而得PB的長(zhǎng)，最后利用勾股定理求OP的長(zhǎng)，與半徑的差就是PQ的最小值．