Question

【題目】如圖，點E在菱形ABCD的對角線BD上，連接AE，且AE=BE，⊙O是△ABE的外接圓，連接OB．

（1）求證：OB⊥BC；

（2）若BD=，tan∠OBD=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）5

【解析】整體分析：

（1）連接OA、OE，設OE交AB于F，須證∠OBE+∠CBD=90°，由于∠CBD=∠ABD，∠OBE=∠OEB，即要證∠BEF+∠EBF=90°，由垂徑定理可得OE⊥AB；（2）連接AC交BD于G，證得∠GCB=∠OBD，求出BC，CG，在Rt△BEF中，求EF，在Rt△OBF中，用勾股定理列方程求半徑.

（1）證明：連接OA、OE，設OE交AB于F，

∵AE=BE，∴∠AOE=∠BOE，

∵OA=OB，∴AF=BF，OE⊥AB，

∴∠OFB=∠BFE=90°，∴∠BEF+∠EBF=90°，

∵四邊形ABCD是菱形，∴∠CBD=∠ABD，

∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，

∴∠OBE+∠CBD=90°，∴∠OBC=90°，

∴OB⊥BC；

（2）解：連接AC交BD于G，

∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC，AC⊥BD，BG=BD=，

∴∠BGC=90°，∴∠GCB+∠GBC=90°，

∵∠OBD+∠CBG=90°，∴∠GCB=∠OBD，

在Rt△BCG中，tan∠GCB=tan∠OBD=2，

∴=2，∴CG=，

∴BC===8，

∴AB=8，∴BF=4，

在Rt△BEF中，tan∠BEF=tan∠OBD=2，

∴=2，∴EF=2，

設⊙O的半徑為r，

在Rt△BOF中，OF2+BF2=OB2，

（r﹣2）2+42=r2，解得：r=5，

即⊙O的半徑為5．