Question

【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線L1:y=+bx+c過點C(0,3),與拋物線L2:y=x+2的一個交點為A,且點A的橫坐標為2,點P、Q分別是拋物線L1、L2上的動點。

(1)求拋物線L1對應的函數表達式；

(2)若以點A. C.P、Q為頂點的四邊形恰為平行四邊形，求出點P的坐標；

Answer 1

【答案】（1）拋物線L1：y=-2x-3；（2）點P的坐標為（-1，0），（3,0）或（-）；

【解析】

（1）先求出A點的坐標，再用待定系數法求出函數解析式便可；

（2）設點P的坐標為（x，x2-2x-3），分兩種情況討論：AC為平行四邊形的一條邊，AC為平行四邊形的一條對角線，用x表示出Q點坐標，再把Q點坐標代入拋物線L2：y=x+2中，列出方程求得解便可.

(1) 將x=2代入y=x+2，得y=3，

故點A的坐標為（2，-3），

將A(2,-1), C(0,3)代入y=+bx+c，

得-3=+2b+c ，-3=0+0+c，

解得b=-2，c=-3，

∴拋物線L1：y=-2x-3；

（2）設點P的坐標為（x，-2x-3），

第一種情況：AC為平行四邊形的一條邊，

①當點Q在點P右側時，則點Q的坐標為（x+2，-2x-3），

將Q（x+2，-2x-3）代入y=x+2得，-2x-3=-+2,

解得，x=0或x=-1，

因為x=0時，點P與C重合，不符合題意，所以舍去，

此時點P的坐標為（-1，0）；

②當點Q在點P左側時，則點Q的坐標為（x-2， -2x-3），

將Q（x-2，-2x-3）代入y=x+2得， -2x-3=-+2,

解得，x=3，或x=-，此時P點的坐標為（3,0）或（-）；

第二種情況：當AC為平行四邊形的一條對角線時，

由AC的中點坐標為（1，-3），得PQ的中點坐標為（1，-3），

故點Q的坐標為（2-x，-+2x-3），

將Q（2-x，-+2x-3）代入y=x+2得，-+2x-3=-+2,

解得，x=0或x=-3，

因為x=0時，點P與點C重合，不符合題意，所以舍去，

此時點P的坐標為（-3，12），

綜上所述，點P的坐標為（-1，0），（3,0）或（-）或（-3，12）.