Question

直線y=-x+7與y軸、x軸分別交于A、B兩點，拋物線y=-x²+bx+c經過A、B兩點，頂點為C，直線AB與拋物線的對稱軸交于點D．
（1）求A、B坐標，并求拋物線的表達式；
（2）若點P以每秒1個單位長度的速度從點B沿x軸向點O運動，過P作PF∥CD交直線AB于點E，交拋物線于點F，設點P的運動時間為t秒．
①用含t的代數式表示線段EF的長；當t取何值時線段EF有最大值，求出這個最大值；
②是否存在這樣的t值，使得四邊形EFCD是平行四邊形？若存在則求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用直線的解析式可以求出A、B的坐標，利用A、B的坐標根據待定系數法就可以求出拋物線的解析式．
（2）①先表示出P點的坐標，利用P點的橫坐標就可以求出E點F點的坐標，利用E、F的總坐標就可以表示出EF的長度．然后化為頂點式就可以求出其最大值．
②利用對稱軸與AB的交點就可以求出D點的坐標，利用C、D的坐標就可以求出CD的長度，再代入EF的解析式就可以求出其t的值．

解答：解：（1）令x=0，則y=7，
∴A（0，7）．
令y=0，則x=7，
∴B（7，0）．
把（0，7），（7，0）代入拋物線的解析式為：

7=c 0=-49+7b+c

，
解得

b=6 c=7

．
∴拋物線的解析式為：y=-x²+6x+7；

（2）①設P（7-t，0）．
∴F（7-t，-t²+8t），E（7-t，t），
∴EF=-t²+8t-t，
即EF=-t²+7t（0≤t≤7），
∵EF=-（t-

7

2

）²+

49

4

，
∴當t=

7

2

時，EF有最大值

49

4

；
②拋物線y=-x²+6x+7的解析式變形為：
y=-（x-3）²+16，
∴頂點C（3，16）．
當x=3時，y=-3+7，y=4，
∴D（3，4），
∴CD=12，
∴P點在對稱軸的右側．
∵四邊形EFCD是平行四邊形，
∴CD=EF=12
∴-t²+7t=12，
解得t=3或t=4（舍去）
∴滿足條件t的值為3．

點評：本題考查了根據函數的解析式求交點坐標，根據點的坐標求函數的解析式，平行四邊形的判定及性質等多個知識點．