Question

【題目】如圖，等邊△ABC中，AE＝CD，AD，BE相交于點P，BQ⊥AD于點Q.

(1)求證：BP＝2PQ；

(2)若PE＝1，PQ＝3，試求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）7

【解析】試題分析：根據全等三角形的判定方法SAS可證得△BEC≌△ADB，根據各角的關系及三角形內角、外角和定理可證得，即可得結論．

由已知條件，先證明△ABE≌△CAD得，可得．即可求出的長．

試題解析：

AE=CD，AC=BC，

∴EC=BD；

∵△ABC為等邊三角形，

在△BEC與△ADB中，

∴△BEC≌△ADB(SAS)，

∴∠EBC=∠BAD；

∵∠ABE+∠EBC=,則∠ABE+∠BAD=，

∵∠BPQ是△ABP外角，

∴∠ABP+∠BAP==∠BPQ，

又∵BQ⊥AD，

∴BP=2PQ.

∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=CA，∠BAE=∠ACD=；

又∵AE=CD，

在△ABE和△CAD中，

∴△ABE≌△CAD(SAS)；

∴BE=AD，∠CAD=∠ABE；

∵BQ⊥AD，

，則

∵PQ=3，

∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6；

又∵PE=1，

∴AD=BE=BP+PE=7.