Question

【題目】如果方程x2+px+q=0有兩個實數根x1 ， x2 ， 那么x1+x2=﹣p，x1x2=q，請根據以上結論，解決下列問題：
（1）已知a、b是方程x2+15x+5=0的二根，則=?
（2）已知a、b、c滿足a+b+c=0，abc=16，求正數c的最小值．
（3）結合二元一次方程組的相關知識，解決問題：已知和是關于x，y的方程組的兩個不相等的實數解．問：是否存在實數k，使得y1y2﹣=2？若存在，求出的k值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）∵a、b是方程x2+15x+5=0的二根，
∴a+b=﹣15，ab=5，
∴===43，
故答案是：43；
（2）∵a+b+c=0，abc=16，
∴a+b=﹣c，ab= ，
∴a、b是方程x2+cx+=0的解，
∴c2﹣4≥0，c2﹣≥0，
∵c是正數，
∴c3﹣43≥0，c3≥43 ， c≥4，
∴正數c的最小值是4．
（3）存在，當k=﹣2時， ．
由x2﹣y+k=0變形得：y=x2+k，
由x﹣y=1變形得：y=x﹣1，把y=x﹣1代入y=x2+k，并整理得：x2﹣x+k+1=0，
由題意思可知，x1 ， x2是方程x2﹣x+k+1=0的兩個不相等的實數根，故有：

即：
解得：k=﹣2．
【解析】（1）根據a，b是x2+15x+5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出的值．
（2）根據a+b+c=0，abc=16，得出a+b=﹣c，ab= ， a、b是方程x2+cx+=0的解，再根據c2﹣4≥0，即可求出c的最小值．
（3）運用根與系數的關系求出x1+x2=1，x1x2=k+1，再解y1y2﹣=2，即可求出k的值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解求根公式的相關知識，掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根，以及對根與系數的關系的理解，了解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商．