Question

5．（1）觀察推理：如圖1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線l過點C，點A、B在直線l同側(cè)，BD⊥l，AE⊥l，垂足分別為D、E．
求證：△AEC≌△CDB；
（2）類比探究：如圖2，如圖，AB丄MN，垂足為O，點P在射線OA上，點C在射線ON上，DP丄PC且DP=PC，過點D作DE丄OM于點E，則$\frac{OC-DE}{OP}$的值為1．（直接寫答案）
（3）拓展提升：如圖3，邊長為4cm正方形ABCD中，點E在DC上，且DE=1cm，動點F從點B沿射線BC以1cm/s速度向右運動，連結(jié)EF，將線段EF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EH．要使點H恰好落在射線AD上，求點F運動的時間ts．

Answer 1

分析 （1）先證明∠A=∠BCD，根據(jù)AAS證△AEC≌△CDB即可；
（2）作DG⊥AB于G，證出四邊形DEOG是矩形，得出DE=OG，同（1）得：△PDG≌△CPO，得出PG=OC，即可得出所求的值；
（3）同（1）得：△CEF≌△DHE，得出CF=DE=1cm，求出BF=BC+CF=5cm，即可得出t的值．

解答 （1）證明：∵BD⊥l，AE⊥l，
∴∠BDC=∠CEA=90°，
∴∠A+∠ACE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACE=90°，
∴∠A=∠BCD，
在△AEC和△CDB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CEA=∠BDC}&{\;}\\{∠A=∠BCD}&{\;}\\{AC=CB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△CDB（AAS）．

（2）解：作DG⊥AB于G，如圖2所示：
∵DE⊥OM，AB⊥MN，DG⊥AB，
∴四邊形DEOG是矩形，
∴DE=OG，
同（1）得：△PDG≌△CPO，
∴PG=OC，
∴$\frac{OC-DE}{OP}$=$\frac{PG-OG}{OP}$=$\frac{OP}{OP}$=1，
故答案為：1；

（3）解：如圖3所示：同（1）得：△CEF≌△DHE，
∴CF=DE=1cm，
∵BC=4cm，
∴BF=BC+CF=5cm，
∴t=5，
即點F運動的時間為5s．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．