Question

【題目】如圖，已知點D在反比例函數y= 的圖象上，過點D作x軸的平行線交y軸于點B（0，3）．過點A（5，0）的直線y=kx+b與y軸于點C，且BD=OC，tan∠OAC= ．

（1）求反比例函數y= 和直線y=kx+b的解析式；
（2）連接CD，試判斷線段AC與線段CD的關系，并說明理由；
（3）點E為x軸上點A右側的一點，且AE=OC，連接BE交直線CA與點M，求∠BMC的度數．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（5，0），

∴OA=5．

∵ ，

∴ ，解得OC=2，

∴C（0，﹣2），

∴BD=OC=2，

∵B（0，3），BD∥x軸，

∴D（﹣2，3），

∴m=﹣2×3=﹣6，

∴ ，

設直線AC關系式為y=kx+b，

∵過A（5，0），C（0，﹣2），

∴ ，解得 ，

∴

（2）

解：∵B（0，3），C（0，﹣2），

∴BC=5=OA，

在△OAC和△BCD中

∴△OAC≌△BCD（SAS），

∴AC=CD，

∴∠OAC=∠BCD，

∴∠BCD+∠BCA=∠OAC+∠BCA=90°，

∴AC⊥CD

（3）

解：∠BMC=45°．

如圖，連接AD，

∵AE=OC，BD=OC，AE=BD，

∴BD∥x軸，

∴四邊形AEBD為平行四邊形，

∴AD∥BM，

∴∠BMC=∠DAC，

∵△OAC≌△BCD，

∴AC=CD，

∵AC⊥CD，

∴△ACD為等腰直角三角形，

∴∠BMC=∠DAC=45°

【解析】（1）由A點坐標可求得OA的長，再利用三角函數的定義可求得OC的長，可求得C、D點坐標，再利用待定系數法可求得直線AC的解析式；（2）由條件可證明△OAC≌△BCD，再由角的和差可求得∠OAC+∠BCA=90°，可證得AC⊥CD；（3）連接AD，可證得四邊形AEBD為平行四邊形，可得出△ACD為等腰直角三角形，則可求得答案．