Question

【題目】工人師傅在修茸一人字架屋頂BAC時需要加固，計劃焊接三根鋼條AD，DE，FG．在如圖所示的△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD⊥BC于點D，點E，F，G分別是AB，BD，AC上的點，連接DE，GF，交于點H，GF與AD交于點M，當H為FM的中點，BF∶CF=1∶5，AG：AE=5：7時，△AGM的面積為________．

Answer 1

【答案】

【解析】

過點G作GN∥BC交AD于點N，利用已知條件易證NG∥BC，NG⊥AD，∠B=∠C，∠EAD=∠MAG，同時可求出BD，DC的長，利用勾股定理求出AD的長，結合已知求出BF，CF的長；利用直角三角形的性質，可證得DH=HF=MH，∠ADE=∠FMD=∠AMG，由此可證△BDE∽△CFG，△ADE∽△AMG，利用相似三角形的性質，可求出AM的長及BE與CG的比值；設AG=5m，則AE=7m，用含m的代數式表示出BE，AE的長，由此建立關于m的方程，解方程求出m的值；然后證明△ANG∽△ADC，利用相似三角形的性質求出NG的長，再利用三角形的面積公式求出△AMG的面積.

解：過點G作GN∥BC交AD于點N，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴NG∥BC，NG⊥AD，

∴∠B=∠C，BD=DC=6，∠ADF=90°，∠EAD=∠MAG，

∴；

∵BF:CF=1:5，BC=12，

∴BF+CF=12，

解之：BF=2，CF=10，

在Rt△MDF中，點H是MF的中點，

∴DH=HF=MH，

∴∠BDE=∠CFG，∠ADE=∠FMD=∠AMG，

∵∠BDE=∠CFG，∠B=∠C，

∴△BDE∽△CFG，

∴，

∵∠EAD=∠MAG，∠AMG=∠ADE，

∴△ADE∽△AMG，

∴；

解得：，

設AG=5m，則AE=7m，

∴BE=AB-AE=10-7m，CG=AC-AG=10-5m，

∴，

解得：m=1，

經檢驗，m=1符合題意，

∴AG=5，

∵NG∥BC，

∴△ANG∽△ADC，

∴ ， 即

解之：NG=3.

∴.

故答案為：.