Question

【題目】如圖，在頂點為P的拋物線y=a（x-h）2+k（a≠0）的對稱軸1的直線上取點A（h，k+），過A作BC⊥l交拋物線于B、C兩點（B在C的左側），點和點A關于點P對稱，過A作直線m⊥l．又分別過點B，C作直線BE⊥m和CD⊥m，垂足為E，D．在這里，我們把點A叫此拋物線的焦點，BC叫此拋物線的直徑，矩形BCDE叫此拋物線的焦點矩形．

（1）直接寫出拋物線y=x2的焦點坐標以及直徑的長．

（2）求拋物線y=x2-x+的焦點坐標以及直徑的長．

（3）已知拋物線y=a（x-h）2+k（a≠0）的直徑為，求a的值．

（4）①已知拋物線y=a（x-h）2+k（a≠0）的焦點矩形的面積為2，求a的值．

②直接寫出拋物線y=x2-x+的焦點短形與拋物線y=x2-2mx+m2+1公共點個數分別是1個以及2個時m的值．

Answer 1

【答案】（1）4（2）4（3）（4）①a=±；②當m=1-或m=5+時，1個公共點，當1-＜m≤1或5≤m＜5+時，2個公共點，

【解析】

（1）根據題意可以求得拋物線y=x2的焦點坐標以及直徑的長；

（2）根據題意可以求得拋物線y=x2-x+的焦點坐標以及直徑的長；

（3）根據題意和y=a（x-h）2+k（a≠0）的直徑為，可以求得a的值；

（4）①根據題意和拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的焦點矩形的面積為2，可以求得a的值；

②根據（2）中的結果和圖形可以求得拋物線y=x2-x+的焦點矩形與拋物線y=x2-2mx+m2+1公共點個數分別是1個以及2個時m的值．

（1）∵拋物線y=x2，

∴此拋物線焦點的橫坐標是0，縱坐標是：0+=1，

∴拋物線y=x2的焦點坐標為（0，1），

將y=1代入y=x2，得x1=-2，x2=2，

∴此拋物線的直徑是：2-（-2）=4；

（2）∵y=x2-x+=（x-3）2+2，

∴此拋物線的焦點的橫坐標是：3，縱坐標是：2+=3，

∴焦點坐標為（3，3），

將y=3代入y=（x-3）2+2，得

3=（x-3）2+2，解得，x1=5，x2=1，

∴此拋物線的直徑時5-1=4；

（3）∵焦點A（h，k+），

∴k+=a（x-h）2+k，解得，x1=h+，x2=h-，

∴直徑為：h+-（h-）==，

解得，a=±，

即a的值是；

（4）①由（3）得，BC=，

又CD=A'A=．

所以，S=BCCD===2．

解得，a=±；

②當m=1-或m=5+時，1個公共點，當1-＜m≤1或5≤m＜5+時，2個公共點，

理由：由（2）知拋，物線y=x2-x+的焦點矩形頂點坐標分別為：

B（1，3），C（5，3），E（1，1），D（5，1），

當y=x2-2mx+m2+1=（x-m）2+1過B（1，3）時，m=1-或m=1+（舍去），過C（5，3）時，m=5-（舍去）或m=5+，

∴當m=1-或m=5+時，1個公共點；

當1-＜m≤1或5≤m＜5+時，2個公共點．

由圖可知，公共點個數隨m的變化關系為

當m＜1-時，無公共點；

當m=1-時，1個公共點；

當1-＜m≤1時，2個公共點；

當1＜m＜5時，3個公共點；

當5≤m＜5+時，2個公共點；

當m=5+時，1個公共點；

當m＞5+時，無公共點；

由上可得，當m=1-或m=5+時，1個公共點；

當1-＜m≤1或5≤m＜5+時，2個公共點．