Question

【題目】如圖，已知一次函數y1=x+b的圖象l與二次函數y2=﹣x2+mx+b的圖象C′都經過點B（0，1）和點C，且圖象C′過點A（2﹣，0）．

（1）求二次函數的最大值；

（2）設使y2＞y1成立的x取值的所有整數和為s，若s是關于x的方程=0的根，求a的值；

（3）若點F、G在圖象C′上，長度為的線段DE在線段BC上移動，EF與DG始終平行于y軸，當四邊形DEFG的面積最大時，在x軸上求點P，使PD+PE最小，求出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）；（3）P（，0）

【解析】試題分析: （1）首先利用待定系數法求出二次函數解析式，然后求出其最大值；
（2）聯立y1與y2，求出點C的坐標為C（， ），因此使y2>y1成立的x的取值范圍為0<x<，得s=1+2+3=6；將s的值代入分式方程，求出a的值；

（3）如圖，四邊形DEFG是一個梯形，將其面積用含有未知數的代數式表示出來，這個代數式是一個二次函數，根據其最值求出未知數的值，進而得到面積最大時點D、E的坐標．

試題解析:

解：（1）∵二次函數y2=﹣x2+mx+b經過點B（0，1）與A（2﹣，0），

∴,

解得,

∴l：y1=x+1；

C′：y2=﹣x2+4x+1．

∵y2=﹣x2+4x+1=﹣（x﹣2）2+5，

∴ymax=5；

（2）聯立y1與y2得： x+1=﹣x2+4x+1，解得x=0或x=，

當x=時，y1=×+1=，

∴C（， ）．

使y2＞y1成立的x的取值范圍為0＜x＜，

∴s=1+2+3=6．

代入方程得,

解得a=；

經檢驗a=是分式方程的解．

（3）∵點D、E在直線l：y1=x+1上，

∴設D（p， p+1），E（q， q+1），其中q＞p＞0．

如答圖1，過點E作EH⊥DG于點H，則EH=q﹣p，DH=（q﹣p）．

在Rt△DEH中，由勾股定理得：EH2+DH2=DE2，即（q﹣p）2+[（q﹣p）]2=（）2，

解得q﹣p=2，即q=p+2．

∴EH=2，E（p+2， p+2）．

當x=p時，y2=﹣p2+4p+1，

∴G（p，﹣p2+4p+1），

∴DG=（﹣p2+4p+1）﹣（p+1）=﹣p2+p；

當x=p+2時，y2=﹣（p+2）2+4（p+2）+1=﹣p2+5，

∴F（p+2，﹣p2+5），

∴EF=（﹣p2+5）﹣（p+2）=﹣p2﹣p+3．

S四邊形DEFG=（DG+EF）EH= [（﹣p2+p）+（﹣p2﹣p+3）]×2=﹣2p2+3p+3

∴當p=時，四邊形DEFG的面積取得最大值，

∴D（， ）、E（， ）．

如答圖2所示，過點D關于x軸的對稱點D′，則D′（，﹣）；

連接D′E，交x軸于點P，PD+PE=PD′+PE=D′E，

由兩點之間線段最短可知，此時PD+PE最小．

設直線D′E的解析式為：y=kx+b，

則有，

解得

∴直線D′E的解析式為：y=x﹣．

令y=0，得x=，

∴P（，0）．

點睛: 本題是二次函數壓軸題，綜合考查了二次函數與一次函數的圖象與性質、待定系數法、函數最值、分式方程的解、勾股定理、軸對稱最短路線等知識點，涉及考點眾多，難度較大．本題難點在于第（3）問，涉及兩個最值問題，第1個最值問題利用二次函數解決，第2個最值問題利用幾何性質解決．