Question

如圖，已知與x軸交于點A（1，0）和B（5，0）的拋物線的頂點為C（3，4），拋物線l₂與l₁關于x軸對稱，頂點為C′．
（1）求拋物線l₂的函數關系式；
（2）已知原點O，定點D（0，4），l₂上的點P與l₁上的點P′始終關于x軸對稱，則當點P運動到何處時，以點D，O，P，P′為頂點的四邊形是平行四邊形；
（3）在l₂上是否存在點M，使△ABM是以AB為斜邊且一個角為30°的直角三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）拋物線l₁，l₂關于x軸對稱，那么C、C′也關于x軸對稱，據此可求出C′的坐標．然后根據A、B、C′三點坐標即可求出拋物線l₂的解析式；
（2）由于PP′總關于x軸對稱，因此PP′∥y軸，根據平行四邊形的判定定理可知，只有當OD=PP′時，以點D，O，P，P′為頂點的四邊形是平行四邊形．可設出P點的橫坐標，然后根據拋物線的解析式表示出P點縱坐標，由于PP′關于x軸對稱，因此PP′的長就是P點縱坐標絕對值的2倍，然后根據上面得出的等量關系可求出P點的坐標；
（3）假設存在這樣的點M，過M作ME⊥x軸于E，可在直角三角形AMB中，根據特殊角的度數、AB的長以及射影定理求出M點的坐標，然后將M的坐標代入拋物線的解析式中進行判斷即可．

解答：解：（1）由題意知點C′的坐標為（3，-4）．
設l₂的函數關系式為y=a（x-3）²-4．
又∵點A（1，0）在拋物線y=a（x-3）²-4上，
∴（1-3）²a-4=0，解得a=1．
∴拋物線l₂的函數關系式為y=（x-3）²-4（或y=x²-6x+5）；

（2）∵P與P′始終關于x軸對稱，
∴PP′與y軸平行．
設點P的橫坐標為m，則其縱坐標為m²-6m+5，
∵OD=4，
∴2|m²-6m+5|=4，即m²-6m+5=±2．
當m²-6m+5=2時，解得m=3±

6

．
當m²-6m+5=-2時，解得m=3±

2

．
∴當點P運動到（3-

6

，2）或（3+

6

，2）或（3-

2

，-2）或（3+

2

，-2）時，
P′P平行且等于OD，以點D，O，P，P′為頂點的四邊形是平行四邊形；

（3）滿足條件的點M不存在．理由如下：
若存在滿足條件的點M在l₂上，則∠AMB=90°，
∵∠BAM=30°（或∠ABM=30°），
∴BM=

1

2

AB=

1

2

×4=2．
過點M作ME⊥AB于點E，可得∠BME=∠BAM=30°．
∴EB=

1

2

BM=

1

2

×2=1，EM=

3

，OE=4．
∴點M的坐標為（4，-

3

）．
但是，當x=4時，y=4²-6×4+5=16-24+5=-3≠-

3

．
∴不存在這樣的點M構成滿足條件的直角三角形．

點評：本題主要考查了軸對稱圖形的性質、平行四邊形的判定和性質、直角三角形的判定和性質等知識點，綜合性強，難度較大．