Question

如圖，已知與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和B（5，0）的拋物線的頂點(diǎn)為C（3，4），拋物線l₂與l₁關(guān)于x軸對(duì)稱，頂點(diǎn)為C′．
（1）求拋物線l₂的函數(shù)關(guān)系式；
（2）已知原點(diǎn)O，定點(diǎn)D（0，4），l₂上的點(diǎn)P與l₁上的點(diǎn)P′始終關(guān)于x軸對(duì)稱，則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，以點(diǎn)D，O，P，P′為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；
（3）在l₂上是否存在點(diǎn)M，使△ABM是以AB為斜邊且一個(gè)角為30°的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線l₁，l₂關(guān)于x軸對(duì)稱，那么C、C′也關(guān)于x軸對(duì)稱，據(jù)此可求出C′的坐標(biāo)．然后根據(jù)A、B、C′三點(diǎn)坐標(biāo)即可求出拋物線l₂的解析式；
（2）由于PP′總關(guān)于x軸對(duì)稱，因此PP′∥y軸，根據(jù)平行四邊形的判定定理可知，只有當(dāng)OD=PP′時(shí)，以點(diǎn)D，O，P，P′為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．可設(shè)出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)拋物線的解析式表示出P點(diǎn)縱坐標(biāo)，由于PP′關(guān)于x軸對(duì)稱，因此PP′的長(zhǎng)就是P點(diǎn)縱坐標(biāo)絕對(duì)值的2倍，然后根據(jù)上面得出的等量關(guān)系可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)M，過(guò)M作ME⊥x軸于E，可在直角三角形AMB中，根據(jù)特殊角的度數(shù)、AB的長(zhǎng)以及射影定理求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將M的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中進(jìn)行判斷即可．
解答：解：（1）由題意知點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（3，-4）．
設(shè)l₂的函數(shù)關(guān)系式為y=a（x-3）²-4．
又∵點(diǎn)A（1，0）在拋物線y=a（x-3）²-4上，
∴（1-3）²a-4=0，解得a=1．
∴拋物線l₂的函數(shù)關(guān)系式為y=（x-3）²-4（或y=x²-6x+5）；

（2）∵P與P′始終關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴PP′與y軸平行．
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則其縱坐標(biāo)為m²-6m+5，
∵OD=4，
∴2|m²-6m+5|=4，即m²-6m+5=±2．
當(dāng)m²-6m+5=2時(shí)，解得m=3±．
當(dāng)m²-6m+5=-2時(shí)，解得m=3±．
∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到（3-，2）或（3+，2）或（3-，-2）或（3+，-2）時(shí)，
P′P平行且等于OD，以點(diǎn)D，O，P，P′為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；

（3）滿足條件的點(diǎn)M不存在．理由如下：
若存在滿足條件的點(diǎn)M在l₂上，則∠AMB=90°，
∵∠BAM=30°（或∠ABM=30°），
∴BM=AB=×4=2．
過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AB于點(diǎn)E，可得∠BME=∠BAM=30°．
∴EB=BM=×2=1，EM=，OE=4．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（4，-）．
但是，當(dāng)x=4時(shí)，y=4²-6×4+5=16-24+5=-3≠-．
∴不存在這樣的點(diǎn)M構(gòu)成滿足條件的直角三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大．