Question

如圖，已知與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和B（5，0）的拋物線的頂點(diǎn)為C（3，4），拋物線l₂與l₁關(guān)于x軸對稱，頂點(diǎn)為C′．
（1）求拋物線l₂的函數(shù)關(guān)系式；
（2）已知原點(diǎn)O，定點(diǎn)D（0，4），l₂上的點(diǎn)P與l₁上的點(diǎn)P′始終關(guān)于x軸對稱，則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到何處時(shí)，以點(diǎn)D，O，P，P′為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？
（3）在l₂上是否存在點(diǎn)M，使△ABM是以AB為斜邊且一個(gè)角為30°的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意得出C'的坐標(biāo)為（3，-4），利用頂點(diǎn)式求出l₂的函數(shù)關(guān)系式即可；
（2）由P與P'始終關(guān)于x軸對稱，得出PP'與y軸平行，即可得出P的橫坐標(biāo)為m，則其縱坐標(biāo)為m²-6m+5，
進(jìn)而求出m的值，即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)，得出以點(diǎn)D，O，P，P'為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；
（3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M在l₂上，即可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4，-

3

)，再利用當(dāng)x=4時(shí)y的值進(jìn)行比較得出答案即可．

解答：解：（1）由題意知點(diǎn)C'的坐標(biāo)為（3，-4）．
設(shè)l₂的函數(shù)關(guān)系式為y=a（x-3）²-4．
又∵點(diǎn)A（1，0）在拋物線y=a（x-3）²-4上，
∴（1-3）²a-4=0，解得a=1．
∴拋物線l₂的函數(shù)關(guān)系式為y=（x-3）²-4
（或y=x²-6x+5）．

（2）∵P與P'始終關(guān)于x軸對稱，
∴PP'與y軸平行．
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則其縱坐標(biāo)為m²-6m+5，
∵OD=4，∴2|m²-6m+5|=4，即m²-6m+5=±2．
當(dāng)m²-6m+5=2時(shí)，解得m=3±

6

．
當(dāng)m²-6m+5=-2時(shí)，解得m=3±

2

．
∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到(3-

6

，2)或(3+

6

，2)或(3-

2

，-2)或(3+

2

，-2)時(shí)，
P′P

∥ .

.

OD，以點(diǎn)D，O，P，P'為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

（3）滿足條件的點(diǎn)M不存在．
理由如下：若存在滿足條件的點(diǎn)M在l₂上，
則∠AMB=90°，∵∠BAM=30°（或∠ABM=30°），
∴BM=

1

2

AB=

1

2

×4=2．
過點(diǎn)M作ME⊥AB于點(diǎn)E，可得∠BME=∠BAM=30°．
∴EB=

1

2

BM=

1

2

×2=1，EM=

3

，OE=4．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4，-

3

)．
但是，當(dāng)x=4時(shí)，y=42-6×4+5=16-24+5=-3≠-

3

．
∴不存在這樣的點(diǎn)M構(gòu)成滿足條件的直角三角形．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)圖象關(guān)于x軸對稱的性質(zhì)以及頂點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式以及平行四邊形的性質(zhì)和判定等知識，二次函數(shù)這部分經(jīng)常利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論思想相結(jié)合，綜合性較強(qiáng)注意不要漏解．