Question

【題目】如圖，四邊形ABCD 內接于⊙O，BD是⊙O的直徑，過點A作AE⊥CD，交CD的延長線于點E，DA平分∠BDE．

（1）求證：AE是⊙O的切線；

（2）已知AE=4cm，CD=6cm，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析

【解析】

試題分析：（1）連接OA，因為點A在⊙O上，所以只要證明OA⊥AE即可；由同圓的半徑相等得：OA=OD，則∠ODA=∠OAD，根據角平分線可知：∠OAD=∠EDA，所以EC∥OA，由此得OA⊥AE，則AE是⊙O的切線；

（2）過點O作OF⊥CD，垂足為點F，證明四邊形AOFE是矩形，得OF=AE=4cm，由垂徑定理得：DF=3，根據勾股定理求半徑OD的長．

試題解析：（1）連結OA，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∵DA平分∠BDE，

∴∠ODA=∠EDA，∴∠OAD=∠EDA，∴EC∥OA，

∵AE⊥CD，∴OA⊥AE，

∵點A在⊙O上，

∴AE是⊙O的切線；

（2）過點O作OF⊥CD，垂足為點F，∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°，∴四邊形AOFE是矩形，∴OF=AE=4cm，

又∵OF⊥CD，∴DF=CD=3cm，在Rt△ODF中，OD==5cm，

即⊙O的半徑為5cm．