Question

【題目】（12分）如圖1所示，將一個邊長為2的正方形ABCD和一個長為2、寬為1的矩形CEFD拼在一起，構成一個大的長方形ABEF．現將小長方形CEFD繞點C順時針旋轉至CE′F′D，旋轉角為．

（1）當點D′恰好落在EF邊上時，則旋轉角α的值為________度；

（2）如圖2，G為BC中點，且0°＜α＜90°，求證：GD′=E′D；

（3）小長方形CEFD繞點C順時針旋轉一周的過程中，是否存在旋轉角α，使△DCD′與△CBD′全等？若能，直接寫出旋轉角α的值；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）30；（2）證明見試題解析；（3）能．或．

【解析】

試題分析：（1）根據旋轉的性質得到CD′的長，在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，得到∠CD′E=30°，然后根據平行線的性質即可得到∠α的度數；

（2）由G為BC中點可得CG=CE，再根據旋轉的性質得∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，則∠GCD′=∠DCE′=90°+α，再根據“SAS”可判斷△GCD′≌△E′CD，得到GD′=E′D；

（3）根據正方形的性質得CB=CD，而CD=CD′，則△BCD′與△DCD′為腰相等的兩等腰三角形，當兩頂角相等時它們全等，當△BCD′與△DCD′為鈍角三角形時，可計算出α=135°，當△BCD′與△DCD′為銳角三角形時，可計算得到α=315°．

試題解析：（1）∵長方形CEFD繞點C順時針旋轉至CE′F′D′，∴CD′=CD=2，在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，∴∠CD′E=30°，∵CD∥EF，∴∠α=30°；

（2）∵G為BC中點，∴CG=1，∴CG=CE，∵長方形CEFD繞點C順時針旋轉至CE′F′D′，∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α，在△GCD′和△E′CD中，∵CD′=CD，∠GCD′=∠DCE′，CG=CE′，∴△GCD′≌△E′CD（SAS），∴GD′=E′D；

（3）能．理由如下：∵四邊形ABCD為正方形，∴CB=CD，∵CD′=CD′，∴△BCD′與△DCD′為腰相等的兩等腰三角形，當∠BCD′=∠DCD′時，△BCD′≌△DCD′，當△BCD′與△DCD′為鈍角三角形時，則旋轉角α==135°，

當△BCD′與△DCD′為銳角三角形時，∠BCD′=∠DCD′=∠BCD=45°，則α=360°﹣=315°，即旋轉角a的值為135°或315°時，△BCD′與△DCD′全等．