Question

【題目】猜想與證明：小強想證明下面的問題：“有兩個角（圖中的和）相等的三角形是等腰三角形”．但他不小心將圖弄臟了，只能看見圖中的和邊．

（1）請問：他能夠把圖恢復成原來的樣子嗎？若能，請你幫他寫出至少兩種以上恢復的方法并在備用圖上恢復原來的樣子．

（2）你能夠證明這樣的三角形是等腰三角形嗎？（至少用兩種方法證明）

Answer 1

【答案】（1）能，具體見解析；（2）證明見解析．

【解析】

（1）方法1：量出 ∠C的大小；作∠B ＝∠C；則∠B的一條邊和∠C的一條邊的延長線交于點A；方法2：作邊BC的垂直平分線與∠C的另一邊的延長線交于點A，連接AB即可；方法3：將長方形紙片對折使點B和點C重合，找到∠ C的另一邊的延長線與折痕的交點A，連接AB即可；

（2）證法1：作∠A的平分線AD，交BC與點D，利用AAS即可證出△ABD≌△ACD，從而得出AB=AC，根據等腰三角形的定義即可得出結論；證法2：過A作AD⊥BC于D，利用AAS即可證出△ABD≌△ACD，從而得出AB=AC，根據等腰三角形的定義即可得出結論．

解：（1）方法1：量出 ∠C的大小；作∠B ＝∠C；則∠B的一條邊和∠C的一條邊的延長線交于點A．如下圖所示：△ABC即為所求

方法2：作邊BC的垂直平分線與∠C的另一邊的延長線交于點A，連接AB，如下圖所示：△ABC即為所求．

方法3：如圖，將長方形紙片對折使點B和點C重合，找到∠ C的另一邊的延長線與折痕的交點A，連接AB，如下圖所示：△ABC即為所求

（2）證法1：作∠A的平分線AD，交BC與點D

∴∠BAD=∠CAD

在△ABD和△ACD中

∴△ABD≌△ACD

∴AB=AC，

即△ABC為等腰三角形；

證法2：過A作AD⊥BC于D，

∴∠ADB=∠ADC=90°

在△ABD和△ACD中

∴△ABD≌△ACD

∴AB=AC，

即△ABC為等腰三角形．