Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以線段AB為邊向外作等邊△ABD，點E是線段AB的中點，連接CE并延長交線段AD于點F．

（1）求證：四邊形BCFD為平行四邊形；

（2）若AB＝6，求平行四邊形BCFD的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）9．

【解析】

(1)在Rt△ABC 中，E為AB的中點，則CEAB，BEAB，得到∠BCE＝∠EBC＝60°．由△AEF≌△BEC，得∠AFE＝∠BCE＝60°，又∠D＝60°，得∠AFE＝∠D＝60°，所以FC∥BD，又因為∠BAD＝∠ABC＝60°，所以AD∥BC，即FD∥BC，由此即可得四邊形BCFD是平行四邊形；

(2)在Rt△ABC中，求出BC，AC即可解決問題.

(1)在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，

∴∠ABC＝60°，

在等邊△ABD中，∠BAD＝60°，∴∠BAD＝∠ABC＝60°，

∵E為AB的中點，∴AE＝BE，

又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF≌△BEC，

在△ABC中，∠ACB＝90°，E為AB的中點，

∴CEAB，BEAB，

∴CE＝AE，

∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BCE＝∠EBC＝60°，

又∵△AEF≌△BEC，∴∠AFE＝∠BCE＝60°，

又∵∠D＝60°，∴∠AFE＝∠D＝60°，∴FC∥BD，

又∵∠BAD＝∠ABC＝60°，∴AD∥BC，即FD∥BC，

∴四邊形BCFD是平行四邊形；

(2)在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，AB＝6，

∴BCAB＝3，AC==3，

∴S平行四邊形BCFD＝3．