Question

如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分線DE交AC于D，交AB于E，下述結論：（1）BD平分∠ABC；（2）AD=BD=BC；（3）△BDC的周長等于AB+BC；（4）D是AC的中點．其中正確結論的個數有（　　）

A．4個

B．3個

C．2個

D．1個

Answer 1

分析：由△ABC中，AB=AC，∠A=36°，可求得∠ABC與∠C的度數，又由AB的垂直平分線DE交AC于D，交AB于E，根據線段垂直平分線的性質，可證得AD=BD，繼而可求得∠ABD，∠DBC的度數，則可得BD平分∠ABC；又可求得∠BDC的度數，則可證得AD=BD=BC；可求得△BDC的周長等于AB+BC．

解答：解：∵△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=

180°-∠A

2

=72°，
∵AB的垂直平分線DE交AC于D，交AB于E，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=36°，
∵∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°=∠ABD，
∴BD平分∠ABC；
故（1）正確；
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC=AD，
故（2）正確；
△BDC的周長等于BD+DC+BC=AD+DC+BC=AC+BC=AB+BC；
故（3）正確；
∵AD=BD＞CD，
∴D不是AC的中點，
故（4）錯誤．
故選B．

點評：此題考查了線段垂直平分線的性質與等腰三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握轉化思想與數形結合思想的應用．