Question

【題目】如圖1，點是正方形邊上任意一點，以為邊作正方形，連接，點是線段中點，射線與交于點，連接．

（1）請直接寫出和的數量關系和位置關系．

（2）把圖1中的正方形繞點順時針旋轉，此時點恰好落在線段上，如圖2，其他條件不變，（1）中的結論是否成立，請說明理由．

（3）把圖1中的正方形繞點順時針旋轉，此時點、恰好分別落在線段、 上，連接，如圖3，其他條件不變，若，，直接寫出的長度．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）.

【解析】

(1)證明ΔFME≌ΔAMH，得到HM=EM，根據等腰直角三角形的性質可得結論. （2）根據正方形的性質得到點A、E、C在同一條直線上,利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知. （3）如圖3中，連接EC，EM，由（1）（2）可知，△CME是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質解決問題即可．

解：（1）結論：CM＝ME，CM⊥EM．

理由：∵AD∥EF，AD∥BC，

∴BC∥EF，

∴∠EFM＝∠HBM，

在△FME和△BMH中，

∴△FME≌△BMH（ASA），

∴HM＝EM，EF＝BH，

∵CD＝BC，

∴CE＝CH，∵∠HCE＝90°，HM＝EM，

∴CM＝ME，CM⊥EM．

（2）如圖2，連接，

∵四邊形和四邊形是正方形，

∴

∴點在同一條直線上，

∵，為的中點，

∴，，∴，

∵，∴，

∵，

∴

∴，

∴，

∴．

（3）如圖3中，連接EC，EM．

由（1）（2）可知，△CME是等腰直角三角形，

∵

∴CM＝EM＝