Question

【題目】如圖，直線l1：y=﹣x+3與x軸相交于點A，直線l2：y=kx+b經過點（3，﹣1），與x軸交于點B（6，0），與y軸交于點C，與直線l1相交于點D．

（1）求直線l2的函數關系式；

（2）點P是l2上的一點，若△ABP的面積等于△ABD的面積的2倍，求點P的坐標；

（3）設點Q的坐標為（m，3），是否存在m的值使得QA+QB最小？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線l2的函數關系式為：y=x﹣2；

（2）點P的坐標為（， ）或（， ）；

（3）存在m的值使得QA+QB最小，此時點Q的坐標為（，3）．

【解析】試題分析: （1）把點（3，﹣1），點B（6，0）代入直線l2，求出k、b的值即可；

（2）設點P的坐標為（t， t﹣2），求出D點坐標，再由S△ABP=2S△ABD求出t的值即可；

（3）作直線y=3，作點A關于直線y=3的對稱點A′，連結A′B，利用待定系數法求出其解析式，根據點Q（m，3）在直線A′B上求出m的值，進而可得出結論．

試題解析：

（1）由題知：

解得： ，

故直線l2的函數關系式為：y=x﹣2；

（2）由題及（1）可設點P的坐標為（t， t﹣2）．

解方程組，得，

∴點D的坐標為（，﹣）．

∵S△ABP=2S△ABD，

∴AB|t﹣2|=2×AB|﹣|，即|t﹣2|=，解得：t=或t=，

∴點P的坐標為（， ）或（， ）；

（3）作直線y=3（如圖），再作點A關于直線y=3的對稱點A′，連結A′B．

由幾何知識可知：A′B與直線y=3的交點即為QA+QB最小時的點Q．

∵點A（3，0），

∴A′（3，6）

∵點B（6，0），

∴直線A′B的函數表達式為y=﹣2x+12．

∵點Q（m，3）在直線A′B上，

∴3=﹣2m+12

解得：m=，

故存在m的值使得QA+QB最小，此時點Q的坐標為（，3）．