Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，有一矩形ABCD，其三個頂點的坐標分別為A(2，0)，B(8，0)，C(8，3)，將直線l：以每秒3個單位的速度向右運動，設運動時間為t秒．

（1）當t＝ 時，直線l經過點A（直接填寫答案）；

（2）設直線l掃過矩形ABCD的面積為S，試求S＞0時S與t的函數關系式；

（3）在第一象限有一半徑為3、且與兩坐標軸恰好都相切的⊙M，在直線l出發的同時，⊙M以每秒2個單位的速度向右運動，如圖2，則當t為何值時，直線l與⊙M相切？

Answer 1

【答案】（1）1;

（2）當1＜t≤時,S＝;

當＜t≤3時,S＝9t－;

當3＜t≤時,S＝－(3t－10)2＋18;

當t＞時,S＝18;

（3）t＝5－或t＝5＋．

【解析】

試題分析:（1）y＝－3x－3與x軸交點坐標是（-1,0）,直線l經過點A（2,0）,故向右平移3個單位長度,直線l:y＝－3x－3以每秒3個單位的速度向右運動,所以t=1;

（2）求出直線l:y=﹣3x+9t﹣3,再分情況討論;

（3）分兩種情況討論,借助三角形相似即可．

試題解析:(1)y＝－3x－3與x軸交點坐標是（-1,0）,直線l經過點A（2,0）,故向右平移3個單位長度,直線l:y＝－3x－3以每秒3個單位的速度向右運動,所以t=1;

（2）由題意,可知矩形ABCD頂點D的坐標為(2,3)．

由一次函數的性質可知,當t由小到大變化時,直線l:y=﹣3(x﹣3t)-3=﹣3x+9t﹣3向右平移,依次掃過矩形ABCD的不同部分．

可得當直線經過A(2,0)時,t=1;當直線經過D(2,3)時,t=;當直線經過B(8,0)時,t=3;當直線經過C(8,3)時,t=．

①當1＜t≤時, 如圖所示．

設直線l:y=-3x+9t﹣3與x軸交于點P,與AD交于點Q．

令y=0,可得x=3t﹣1,∴AP=3t﹣3;

令x=2,可得y=9t﹣9,∴AQ=9t﹣9．

∴S=S△APQ=APAQ=(3t﹣3)( 9t﹣9)=;

<>②當＜t≤3時,如圖所示．

設直線l:y=-3x+9t﹣3與x軸交于點P,與CD交于點Q．

令y=0,可得x=3t﹣1,∴AP=3t﹣3;

令y=3,可得x=3t﹣2,∴DQ=3t﹣4．

S=S梯形APQD=(DQ+AP)AD=9t－;

③當3＜t≤時,如圖所示．

設直線l:y=-3x+9t﹣3與BC交于點P,與CD交于點Q．

令x=8,可得y=9t﹣27,∴BP=9t﹣27,CP=30﹣9t;

令y=3,可得x= 3t﹣2,∴DQ= 3t﹣4,CQ=10﹣3t．

S=S矩形ABCD﹣S△PQC=18﹣CPCQ=－(3t－10)2＋18;

④當t＞時,S=S矩形ABCD=18．

綜上所述, S與t的函數關系式為:

;

(3)若直線l:y=﹣3x+9t﹣3與⊙M相切,如圖所示,應有兩條符合條件的切線．

設直線與x軸、y軸交于A、B點,則A(3t﹣1,0)、B(0,9t﹣3),∴OB=3OA．

由題意,可知⊙M與x軸相切,設切點為D,連接MD;

設直線與⊙M的一個切點為P,連接MP并延長交x軸于點G;過P點作PN⊥MD于點N,PH⊥x軸于點H．

易證△PMN∽△BAO,∴PN:MN=OB:OA=3,∴PN=3MN．

在Rt△PMN中,由勾股定理得:PM2=PN2+MN2,解得: MN=,PN=,

∴PH=ND=MD﹣MN=3﹣,OH=OD﹣HD=OD﹣PN=2t+3﹣,

∴P(2t+3﹣,3﹣),代入直線解析式求得:t=5﹣;

同理,當切線位于另外一側時,可求得:t=5+．

考點:動點問題．