Question

【題目】（2017遼寧省葫蘆島市）如圖，∠MAN=60°，AP平分∠MAN，點B是射線AP上一定點，點C在直線AN上運動，連接BC，將∠ABC（0°＜∠ABC＜120°）的兩邊射線BC和BA分別繞點B順時針旋轉120°，旋轉后角的兩邊分別與射線AM交于點D和點E．

（1）如圖1，當點C在射線AN上時，①請判斷線段BC與BD的數量關系，直接寫出結論；

②請探究線段AC，AD和BE之間的數量關系，寫出結論并證明；

（2）如圖2，當點C在射線AN的反向延長線上時，BC交射線AM于點F，若AB=4，AC=，請直接寫出線段AD和DF的長．

Answer 1

【答案】（1）①BC=BD；②AD+AC=BE；（2）AD=，DF=．

【解析】試題（1）①結論：BC=BD．只要證明△BGD≌△BHC即可．②結論：AD+AC=BE．只要證明AD+AC=2AG=2EG，再證明EB=BE即可解決問題；

（2）如圖2中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，AK⊥CF于K．由（1）可知，△ABG≌△ABH，△BGD≌△BHC，易知BH，AH，BC，CH， AD的長，由sin∠ACH=，推出AK的長，設FG=y，則AF=﹣y，BF=，由△AFK∽△BFG，可得，可得關于y的方程，求出y即可解決問題．

試題解析：（1）①結論：BC=BD，

理由：如圖1中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，

∵∠MAN=60°，PA平分∠MAN，BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，∴BG=BH，∠GBH=∠CBD=120°，∴∠CBH=∠GBD，∵∠BGD=∠BHC=90°，∴△BGD≌△BHC，∴BD=BC；

②結論：AD+AC=BE，

∵∠ABE=120°，∠BAE=30°，∴∠BEA=∠BAE=30°，∴BA=BE，∵BG⊥AE，∴AG=GE，EG=BEcos30°=BE，∵△BGD≌△BHC，∴DG=CH，∵AB=AB，BG=BH，∴Rt△ABG≌Rt△ABH，∴AG=AH，∴AD+AC=AG+DG+AH﹣CH=2AG=BE，∴AD+AC=BE；

（2）如圖2中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，AK⊥CF于K，

由（1）可知，△ABG≌△ABH，△BGD≌△BHC，

易知BH=GB=2，AH=AG=EG=，BC=BD= =，CH=DG=，

∴AD=，∵sin∠ACH=，∴，∴AK=，

設FG=y，則AF=﹣y，BF=，

∵∠AFK=∠BFG，∠AKF=∠BGF=90°，

∴△AFK∽△BFG，∴，∴，解得y=或（舍棄），

∴DF=GF+DG=，即DF=．