Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=15，點D是BC邊上的一動點（不與B、C重合），∠ADE=∠B=∠α，DE交AB于點E，且tan∠α=．有以下的結論：①△ADE∽△ACD；②當CD=9時，△ACD與△DBE全等；③△BDE為直角三角形時，BD為12或；④0＜BE≤，其中正確的結論是 （填入正確結論的序號）．

Answer 1

【答案】②③．

【解析】

試題分析：∵∠ADE=∠B=∠α，∠EAD=∠EAD，∴△ADE∽△ABD，而△ABD不一定相似△ACD，故①不正確；

過A作AF⊥BC于F，如圖1，∵AB=AC，∴BF=FC，∵tan∠α=，∠B=∠α，∴tanB=，∴cosB=，∴，∴BF=AB=12，∴BC=24，∵DC=9，∴BD=BC－DC=15，∴BD=AC，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠α=∠C，∵∠C+∠CAD=∠α+∠BDE，∴∠BDE=∠CAD，在△BED和△CDA中，∵∠BDE=∠CAD，BD=AC，∠B=∠C，∴△BDE≌△CAD，故②正確；

若△BDE為直角三角形，則有兩種情況：（1）若∠BED=90°，∵∠BDE=∠CAD，∠B=∠C，∴△BDE∽△CAD，∴∠CDA=∠BED=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=BC=12；

（2）若∠BDE=90°，如圖2，設BD=x，則DC=24－x，∵∠CAD=∠BDE=90°，∠B=∠C=∠α，∴cos∠C=cosB=，∴，解得：，∴若△BDE為直角三角形，則BD為12或，故③正確；

設BE=x，CD=y，∵△BDE∽△CAD，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴0＜BE≤，∴故④錯誤；

故答案為：②③．