Question

【題目】定義：將函數C1的圖象繞點P(m，0)旋轉180°，得到新的函數C2的圖象，我們稱函數C2是函數C1關于點P的相關函數。例如：當m=1時，函數y=(x-3)2+9關于點P(1，0)的相關函數為y=-(x+1)2-9．

（1）當m=0時，

①一次函數y=-x+7關于點P的相關函數為_______；

②點A(5，-6)在二次函數y=ax2-2ax+a(a≠0)關于點P的相關函數的圖象上，求a的值；

（2）函數y=(x-2)2+6關于點P的相關函數是y= -(x-10)2-6，則m=_______

（3）當m-1≤x≤m+2時，函數y=x2-6mx+4m2關于點P(m，0)的相關函數的最大值為8，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）6；（3）的值為或．

【解析】

（1）①由相關函數的定義，將旋轉變換可得相關函數為；

②先求出二次函數的相關函數，然后求出相關函數，再把點A代入，即可得到答案；

（2）兩函數頂點關于點P中心對稱，可用中點坐標公式獲得點P坐標，從而獲得m的值；

（3）先確定相關函數，然后根據m的取值范圍，對m進行分類討論，以對稱軸在給定區間的左側，中部，右側，三種情況分類討論，獲得對應的m的值．

解：（1）①根據相關函數的定義，

關于點P（0，0）旋轉變換可得相關函數為；

故答案為：；

②∵，

關于點的相關函數為．

∵點在二次函數的圖象上，

．

解得：．

（2）∵的頂點為（2，6）；

的頂點坐標為（10，-6）；

∵兩個二次函數的頂點關于點P（m，0）成中心對稱，

∴

故答案為：6；

（3）∵，

關于點的相關函數為．

①當，即時，當時，有最大值為8．

（不符合題意，舍去），．

②當，即時，當時，有最大值為8．

．

,（都不符合題意，舍去）．

③當，即，當，有最大值為8．

．

,（不符合題意，舍去）．

綜上，的值為或．